Formulario di Analisi Matematica 1

Se non visualizzi la pagina in modo chiaro, scarica il pdf.

Scarica il pdf

Indice degli argomenti

Punti interni, di frontiera, di accumulazione, isolati

Dato un insieme $X\subseteq\mathbb R$ e $x_0\in\mathbb R$

  • $x_0$ è PUNTO INTERNO a $X$ se e solo se ogni intorno del punto $x_0$ è tutto contenuto in $X$.
  • $x_0$ è PUNTO DI FRONTIERA a $X$ se e solo se in ogni intorno del punto $x_0$ cadono sia punti appartenenti a $X$ sia punti non appartenenti a $X$.
  • $x_0$ è PUNTO DI ACCUMULAZIONE per $X$ se e solo se ogni intorno del punto $x_0$ contiene almeno un punto di $X$ diverso da $x_0$.
  • $x_0$ è PUNTO ISOLATO per $X$ se non è di accumulazione.

Inoltre, si definiscono i seguenti insiemi:

  • INTERNO di $X$, $\mathop X\limits^ \circ$ è l'insieme dei punti interni ad $X$.
  • FRONTIERA di $X$, $FX$ è l'insieme dei punti di frontiera di $X$.
  • DERIVATO di $X$, $DX$ è l'insieme dei punti di accumulazione per $X$.
  • CHIUSURA di $X$, $\overline{X}=X\cup FX=X\cup DX$.

Un insieme si dice APERTO $\Leftrightarrow\quad X=\mathop X\limits^ \circ$.

Un insieme si dice CHIUSO $\Leftrightarrow\quad X=\overline{X}\quad\Leftrightarrow\quad FX\subseteq X\quad\Leftrightarrow DX\subseteq X$.

Vale sempre la seguente relazione: $$\mathop X\limits^ \circ\subseteq X\subseteq\overline{X}$$

Alcune costanti fondamentali

$e=2,7182818285\dots$
$\pi=3,1415926536\dots$

Proprietà delle potenze ad esponente reale $(x, y\in\mathbb R^+)$

  1. $x^0=1,\quad \forall x\in\mathbb R\setminus\{0\};\quad\quad 1^\alpha=1,\quad \forall \alpha\in\mathbb R;$
  2. $x^{\alpha}\cdot x^{\beta}=x^{\alpha+\beta},\quad \forall\alpha,\beta\in\mathbb R;$
  3. $x^{\alpha}\cdot y^{\alpha}=(xy)^{\alpha},\quad \forall\alpha\in\mathbb R;$
  4. $\frac{x^{\alpha}}{x^{\beta}}=x^{\alpha-\beta},\quad \forall\alpha,\beta\in\mathbb R;$
  5. $\frac{x^{\alpha}}{y^{\alpha}}=\big(\frac{x}{y}\big)^\alpha=\big(\frac{y}{x}\big)^{-\alpha},\quad \forall\alpha\in\mathbb R;$
  6. $(x^{\alpha})^{\beta}=x^{\alpha\beta},\quad\forall\alpha,\beta\in\mathbb R;$
  7. $x^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{x},\quad\forall n\in\mathbb N,\quad\forall x\in\mathbb R_0^+;$
  8. $x^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{x^m}=(\sqrt[n]{x})^m,\quad\forall n,m\in\mathbb N,\quad\forall x\in\mathbb R_0^+;$

Proprietà degli esponenziali $(a, b\in\mathbb R^+,\quad a,b\neq 1)$

  1. $a^0=1;\quad a^1=a;$
  2. $a^x>0,\quad \forall x\in\mathbb R;\quad a^x\begin{cases} < 1, & \mbox{se }a< 1 \\ > 1, & \mbox{se }a> 1 \end{cases},\quad\forall x\in\mathbb R^+;$
  3. $a^x\cdot a^y=(a)^{x+y},\quad \forall x\in\mathbb R;$
  4. $a^x\cdot b^x=(ab)^x,\quad \forall x\in\mathbb R;$
  5. $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y},\quad \forall x,y\in\mathbb R;$
  6. $\frac{a^x}{b^x}=\big(\frac{a}{b}\big)^x,\quad \forall x\in\mathbb R;$
  7. $a^{-x}=\frac{1}{a^x}=\big(\frac{1}{a}\big)^x,\quad\forall x\in\mathbb R;$
  8. $(a^x)^y=a^{xy},\quad\forall x,y\in\mathbb R;$
  9. $se \quad x < y \Rightarrow a^x\begin{cases} < a^y, & \mbox{se }a> 1 \\ > a^y, & \mbox{se }a< 1 \end{cases};$
  10. $a\le b\Rightarrow a^x\le b^b, \quad \forall x\in\mathbb R^+;$

Proprietà dei logaritmi $(x,y,a,b\in\mathbb R^+,\quad a,b\neq 1)$

  1. $a^{\log_a{x}}=x;$
  2. $\log_a(a^x)=x;$
  3. $\log_a{1}=0;$
  4. $\log_a{xy}=\log_a{x}+\log_a{y};$
  5. $\log_a\big(\frac{x}{y}\big)=\log_a{x}-\log_a{y};$
  6. $\log_a(x^\alpha)=\alpha\cdot\log_a{x},\quad\forall\alpha\in\mathbb R;$
  7. $\log_a{x}=\frac{1}{\log_x{a}}=-\log_{\frac{1}{a}}{x},\quad x\neq1;$
  8. $\log_b{x}=\frac{\log_a{x}}{\log_a{b}};$

Proprietà del modulo o valore assoluto

$$|f(x)|=\begin{cases} f(x), & \mbox{se }f(x)\ge 0 \\ -f(x), & \mbox{se }f(x) < 0\end{cases}$$

  1. $|x|\ge 0,\quad\forall x\in\mathbb R;$
  2. $|x|=0\Leftrightarrow x=0;$
  3. $|-x|=|x|,\quad\forall x\in\mathbb R;$
  4. $|x|=\sqrt{x^2},\quad\forall x\in\mathbb R;$
  5. $|x\cdot y|=|x|\cdot |y|,\quad\forall x,y\in\mathbb R;$
  6. $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|},\quad\forall x,y\in\mathbb R, y\neq 0;$
  7. $|x+y|\le |x|+|y|,\quad\forall x,y\in\mathbb R;$
  8. $||x|-|y||\le |x-y|,\quad\forall x,y\in\mathbb R;$

Progressioni

  1. PROGRESSIONE ARITMETICA: $\sum\limits_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}{2};$
  2. PROGRESSIONE GEOMETRICA: $\sum\limits_{k=0}^n q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}, \quad q\neq 1;$

Trigonometria

Per le formule di trigonometria clicca QUI.

Disequazioni

Disequazioni razionali di secondo grado

Sia $ax^2+bx+c=0,\ a>0\quad$ l'equazione associata alla disequazione di secondo grado e siano $x_1$ e $x_2$ le eventuali radici di tale equazione con $x_1 < x_2$. La soluzione della disequazione dipenderà dal suo verso e dal segno del $\Delta$:

$\Delta$$>$$\ge$$<$$\le$
$\Delta>0$ $x < x_1 \vee x > x_2$ $x\le x_1\vee x\ge x_2$ $x_1 < x < x_2 $ $x_1\le x\le x_2$
$\Delta<0$ $\forall x\in\mathbb R$ $\forall x\in\mathbb R$ $\not\exists x\in\mathbb R$ $\not\exists x\in\mathbb R$
$\Delta=0$ $x\neq x_1$ $\forall x\in\mathbb R$ $\not\exists x\in\mathbb R$ $x=x_1$

Disequazioni fratte

  1. Caso $\frac{A}{B}>0$:

    si trovano le soluzioni di $A>0\ $ (1) e $B>0\ $ (2), per poi fare il prodotto dei segni tra (1) e (2) prendendo la parte $>0$.

  2. Caso $\frac{A}{B}\ge 0$:

    si trovano le soluzioni di $A\ge 0\ $ (1) e $B>0\ $ (2), per poi fare il prodotto dei segni tra (1) e (2) prendendo la parte $>0$.

  3. Caso $\frac{A}{B} < 0$:

    si trovano le soluzioni di $A>0\ $ (1) e $B>0\ $ (2), per poi fare il prodotto dei segni tra (1) e (2) prendendo la parte $< 0$.

  4. Caso $\frac{A}{B}\le 0$:

    si trovano le soluzioni di $A\ge 0\ $ (1) e $B>0\ $ (2), per poi fare il prodotto dei segni tra (1) e (2) prendendo la parte $< 0$.

Disequazioni irrazionali

  1. Caso $\sqrt{A}>B$ (o $\ge$):

    si risolvono i sistemi e si fa l'unione delle rispettive soluzioni trovate: $$\left\{ \begin{array}{l} A\ge 0 \\ B\ge 0 \\ A > B^2 \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} A\ge 0 \\ B < 0 \end{array}\right.$$

  2. Caso $\sqrt{A}< B$ (o $\le$):

    si trovano le soluzioni dell'unico sistema: $$\left\{ \begin{array}{l} A\ge 0 \\ B\ge 0 \\ A > B^2 \end{array}\right.$$

Disequazioni con valore assoluto

  1. Caso $B$ non costante e $|A|>B$ (oppure $\ge$, $ < $, $\le$):

    si risolvono i sistemi e si fa l'unione delle rispettive soluzioni trovate: $\left\{ \begin{array}{l} A\ge 0 \\ A > B \end{array}\right. \vee \left\{ \begin{array}{l} A < 0 \\ -A > B \end{array}\right.$

  2. Caso $B$ costante e $|A|> B$ (o $\ge$):

    le soluzioni sono $A < -B\ \vee\ A > B$ (oppure $A \le -B\ \vee\ A \ge B$)

  3. Caso $B$ costante e $|A|< B$ (o $\le$):

    le soluzioni sono $-B < A < B$ (oppure $-B \le A \le B)$

Numeri complessi

Forma algebrica

$$z=x+iy,\forall x,y\in\mathbb R;\quad\quad \overline{z}=x+iy,\quad |z|=\sqrt{x^2+y^2},\quad\forall z\in\mathbb C$$

  1. $\overline{(z\pm w)}=\overline{z}\pm\overline{w},\quad\forall z,w\in\mathbb C;$
  2. $\overline{(zw)}=\overline{z}\cdot\overline{w},\quad\forall z,w\in\mathbb C;$
  3. $\overline{(z/w)}=\overline{z}/\overline{w},\quad\forall z,w\in\mathbb C;$
  4. $z\cdot\overline{z}=|z|^2,\quad\forall z\in\mathbb C;$
  5. $|z|\ge 0,\quad\forall z\in\mathbb C;$
  6. $|z|=0\Leftrightarrow z=0;$
  7. $|z|=|\overline{z}|,\quad\forall z\in\mathbb C;$
  8. $|z\cdot w|=|z|\cdot|w|,\quad\forall z,w\in\mathbb C;$
  9. $|z/w|=|z|/|w|,\quad\forall z,w\in\mathbb C, w\neq 0;$
  10. $|Re(z)|\le|z|,\quad |Im(z)|\le|z|,\quad |z|\le|Re(z)|+|Im(z)|,\quad\forall z\in\mathbb C;$
  11. $|z+w|\le |z|+|w|,\quad\forall z,w\in\mathbb C;$
  12. $||z|-|w||\le |z+w|,\quad\forall z,w\in\mathbb C;$

Forma trigonometrica

$z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta),\quad\rho\in\mathbb R^+,\ \theta\in\left[0,2\pi\right),$

dove $\quad\rho=\sqrt{x^2+y^2},\quad\cos\theta=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\quad\sin\theta=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$

se $w=\eta(\cos\phi+i\sin\phi),\quad\eta\in\mathbb R^+,\ \phi\in\left[0,2\pi\right)$ allora:

  1. $zw=\rho\eta\left[\cos(\theta+\phi)+i\sin(\theta+\phi)\right];$
  2. $\frac{z}{w}=\frac{\rho}{\eta}\left[\cos(\theta-\phi)+i\sin(\theta-\phi)\right];$
  3. $z^n=\rho^n\left[\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)\right],\quad "Formula\ di\ Moivre";$
  4. $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho}\left[\cos\big(\frac{\theta+2k\pi}{n}\big)+i\sin\big(\frac{\theta+2k\pi}{n}\big)\right],\quad k=0,1,2,\dots,(n-1);$

Forma esponenziale

$z=\rho e^{i\theta},\ \rho\in\mathbb R^+,\ \theta\in\left[0,2\pi\right).$

se $\quad w=\eta e^{i\phi},\ \eta\in\mathbb R^+,\ \phi\in\left[0,2\pi\right)$ allora:

  1. $zw=\rho\eta e^{i(\theta+\phi)};$
  2. $\frac{z}{w}=\frac{\rho}{\eta}e^{i(\theta-\phi)};$
  3. $z^n=\rho^n e^{i(n\theta)};$
  4. $\sqrt[n]{z}=\sqrt[n]{\rho} e^{\frac{i(\theta+2k\pi)}{n}},\quad k=0,1,2,\dots,(n-1);$

Limiti

Forme indeterminate

$$0\cdot\infty,\quad\quad\frac{0}{0},\quad\quad\frac{\infty}{\infty},\quad\quad\infty-\infty,\quad\quad 1^{\infty},\quad\quad 0^0,\quad\quad\infty^0$$

N.B.: $0^{\infty},\quad\frac{0}{\infty},\quad\frac{\infty}{0}$ non sono forme indeterminate!

Limiti notevoli di successioni

Scala di infiniti/infinitesimi

$$n^n,\quad n!,\quad a^n\ (a>1),\quad n^b\ (b>0),\quad \log n$$

Forma sempliceForma generale
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}n^b = \begin{cases} +\infty & \mbox{se }b>0\\ 1 & \mbox{se }b=0\\ 0 & \mbox{se }b < 0\end{cases}$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a^n = \begin{cases} +\infty & \mbox{se }a>1\\ 1 & \mbox{se }a=1\\ 0 & \mbox{se }-1 < a < 1\\ \not\exists & \mbox{se }a\le 1\end{cases}$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a}=1\quad\forall a>0$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{n^b}=1\quad\forall b\in\mathbb R$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\log n}{n^b}=0\quad\forall b>0$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n^b}{a^n}=0\quad\forall a>1,\ \forall b>0$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a^n}{n!}=0\quad\forall a>1$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{n!}{n^n}=0$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{n\log^2 n}=1$ /
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=e$ $\lim\limits_{a_n\rightarrow +\infty}\left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{a_n}=e$
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{\sin n}{n}=1$ $\lim\limits_{a_n\rightarrow +\infty}\frac{\sin a_n}{a_n}=1=1$
$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\log_a{n} = \begin{cases} -\infty & \mbox{se }0 < a < 1\\ +\infty & \mbox{se }a > 1\end{cases}$ $\lim\limits_{a_n\rightarrow +\infty}\log_a{a_n} = \begin{cases} -\infty & \mbox{se }0 < a < 1\\ +\infty & \mbox{se }a > 1\end{cases}$

Limiti notevoli di funzioni

Siano $A(x)$ e $B(x)$ due polinomi di grado $n$ e $m$ rispettivamente, ovvero del tipo: $$\begin{eqnarray} A(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0\\ B(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_1x+b_0\end{eqnarray}$$ Allora si ha: $$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{A(x)}{B(x)}=\begin{cases} \infty & \mbox{se } n > m\\ 0 & \mbox{se } n < m\\ \frac{a_n}{b_m}& \mbox{se } n = m\end{cases}$$

Forma sempliceForma generale
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{k}{x}=0,\quad\forall k\in\mathbb R$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow\infty}\frac{k}{f(x)}=0,\quad\forall k\in\mathbb R$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{k}{x}=\infty,\quad\forall k\in\mathbb R-\{0\}$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{k}{f(x)}=\infty,\quad\forall k\in\mathbb R-\{0\}$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}a^x = \begin{cases} +\infty & \mbox{se }a>1\\ 1 & \mbox{se }a=1\\ 0 & \mbox{se }-1 < a < 1\\ \not\exists & \mbox{se }a\le 1\end{cases}$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow +\infty}a^{f(x)} = \begin{cases} +\infty & \mbox{se }a>1\\ 1 & \mbox{se }a=1\\ 0 & \mbox{se }-1 < a < 1\\ \not\exists & \mbox{se }a\le 1\end{cases}$
$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}a^x = \begin{cases} 0 & \mbox{se }a>1\\ 1 & \mbox{se }a=1\\ +\infty & \mbox{se }-1 < a < 1\\ \not\exists & \mbox{se }a\le 1\end{cases}$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow -\infty}a^{f(x)} = \begin{cases} 0 & \mbox{se }a>1\\ 1 & \mbox{se }a=1\\ +\infty & \mbox{se }-1 < a < 1\\ \not\exists & \mbox{se }a\le 1\end{cases}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\log_a{x} = \begin{cases} +\infty & \mbox{se }0 < a < 1\\ -\infty & \mbox{se }a > 1\end{cases}$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0^+}\log_a{f(x)} = \begin{cases} +\infty & \mbox{se }0 < a < 1\\ -\infty & \mbox{se }a > 1\end{cases}$
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\log_a{x} = \begin{cases} -\infty & \mbox{se }0 < a < 1\\ +\infty & \mbox{se }a > 1\end{cases}$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow +\infty}\log_a{f(x)} = \begin{cases} -\infty & \mbox{se }0 < a < 1\\ +\infty & \mbox{se }a > 1\end{cases}$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=e$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{f(x)}\right)^{f(x)}=e$
$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}x^{\frac{1}{x}}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow\infty}\left[f(x)\right]^{\frac{1}{f(x)}}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\left[1+f(x)\right]^{\frac{1}{f(x)}}=e$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\ln\left[1+f(x)\right]}{f(x)}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\log_a(1+x)}{x}=\log_a{e}\quad\forall a>0,\ a\neq 1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\log_a\left[1+f(x)\right]}{f(x)}=\log_a{e}\quad\forall a>0,\ a\neq 1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{e^{x}-1}{x}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\alpha^{x}-1}{x}=\ln\alpha\quad\forall\alpha >0$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\alpha^{f(x)}-1}{f(x)}=\ln\alpha\quad\forall\alpha >0$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{(1+x)^\alpha-1}{x}=\alpha\quad\forall\alpha\in\mathbb R$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\left[1+f(x)\right]^\alpha-1}{f(x)}=\alpha\quad\forall\alpha\in\mathbb R$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}x^\alpha\log_a{x}=0\quad\forall \alpha>0,\ a>1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0^+}\left[f(x)\right]^\alpha\log_a{f(x)}=0\quad\forall \alpha>0,\ a>1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\sin f(x)}{f(x)}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{1-\cos f(x)}{\left[f(x)\right]^2}=\frac{1}{2}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{1-\cos f(x)}{f(x)}=0$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tan x}{x}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\tan f(x)}{f(x)}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\arcsin x}{x}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\arcsin f(x)}{f(x)}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\arctan x}{x}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\arctan f(x)}{f(x)}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\sinh x}{x}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\sinh f(x)}{f(x)}=1$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\cosh x-1}{x^2}=\frac{1}{2}$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\cosh f(x)-1}{\left[f(x)\right]^2}=\frac{1}{2}$
$\lim\limits_{x\rightarrow 0}\frac{\tanh x}{x}=1$ $\lim\limits_{f(x)\rightarrow 0}\frac{\tanh f(x)}{f(x)}=1$

Derivate

Funzione
(forma semplice)
DerivataFunzione
(forma generale)
Derivata
$k,\quad k\in\mathbb R$ $0$    
$x^\alpha,\quad\alpha\in\mathbb R$ $\alpha x^{\alpha-1}$ $\left[f(x)\right]^\alpha$ $\alpha \left[f(x)\right]^{\alpha-1}\cdot f'(x)$
$\sqrt{x}$ $\frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\sqrt{f(x)}$ $\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}\cdot f'(x)$
$e^x$ $e^x$ $e^{f(x)}$ $e^{f(x)}\cdot f'(x)$
$a^x$ $a^x\cdot\ln{a}$ $a^{f(x)}$ $a^{f(x)}\cdot\ln{a}\cdot f'(x)$
$\ln{x}$ $\frac{1}{x}$ $\ln{f(x)}$ $\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)$
$\log_a{x}$ $\frac{1}{x\ln a}$ $\log_a{f(x)}$ $\frac{1}{f(x)\ln a}\cdot f'(x)$
$\sin x$ $\cos x$ $\sin{f(x)}$ $\cos{f(x)}\cdot f'(x)$
$\cos x$ $-\sin x$ $\cos{f(x)}$ $-\sin{f(x)}\cdot f'(x)$
$\tan x$ $\frac{1}{\cos^2{x}}$ $\tan{f(x)}$ $\frac{f'(x)}{\cos^2{f(x)}}$
$\cot x$ $-\frac{1}{\sin^2{x}}$ $\cot{f(x)}$ $-\frac{f'(x)}{\sin^2{f(x)}}$
$\arcsin{x}$ $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arcsin{f(x)}$$ $\frac{1}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\cdot f'(x)$
$\arccos{x}$ $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ $\arccos{f(x)}$ $-\frac{1}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\cdot f'(x)$
$\arctan{x}$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\arctan{f(x)}$ $\frac{1}{1+[f(x)]^2}\cdot f'(x)$
$arccot\ x$ $-\frac{1}{1+x^2}$ $arccot\ f(x)$ $-\frac{1}{1+[f(x)]^2}\cdot f'(x)$
$\sinh x$ $\cosh x$ $\sinh{f(x)}$ $\cosh{f(x)}\cdot f'(x)$
$\cosh x$ $\sinh x$ $\cosh{f(x)}$ $\sinh{f(x)}\cdot f'(x)$
$\tanh x$ $\frac{1}{\cosh^2{x}}$ $\tanh{f(x)}$ $\frac{f'(x)}{\cosh^2{f(x)}}$
$\coth x$ $\frac{1}{\sinh^2{x}}$ $\coth{f(x)}$ $\frac{f'(x)}{\sinh^2{f(x)}}$

Derivata della funzione composta esponenziale $y = [f(x)]^{g(x)}$

$$y'= [f(x)]^{g(x)}\left[g'(x)\ln f(x)+\frac{g(x)f'(x)}{f(x)}\right]$$

Teoremi sul calcolo delle derivate

  • DERIVATA DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE $k$ PER UNA FUNZIONE $f$: $$D[k\cdot f(x)]=k\cdot f'(x)$$
  • DERIVATA DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI $f$ e $g$: $$D[f(x)+g(x)]=f'(x)+g'(x)$$
  • DERIVATA DEL PRODOTTO DI DUE FUNZIONI $f$ e $g$: $$D[f(x)\cdot g(x)]=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
  • DERIVATA DEL QUOZIENTE DI DUE FUNZIONI $f$ e $g$: $$D\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$$

Teoremi di Rolle, Cauchy e Lagrange

  • TEOREMA DI ROLLE:

    Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb R$ continua in $[a,b]$, derivabile in $]a,b[$ e tale che $f(a)=f(b)$. Si ha: $$\exists\ c\in ]a,b[:f'(c)=0$$

  • TEOREMA DI CAUCHY:

    Siano $f,g:[a,b]\rightarrow\mathbb R$ continue in $[a,b]$, derivabili in $]a,b[$ e tali che $g(a)\neq g(b)$ e $\not\exists\ x\in]a,b[:f'(x)=g'(x)=0$. Si ha: $$\exists\ c\in ]a,b[:\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(c)}{g'(c)}$$

  • TEOREMA DI LAGRANGE:

    Sia $f:[a,b]\rightarrow\mathbb R$ continua in $[a,b]$, derivabile in $]a,b[$. Si ha: $$\exists\ c\in ]a,b[:f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

  • TEOREMA DI DE L'HÔPITAL (utile per il calcolo dei limiti del tipo $\frac{0}{0},\ \frac{\infty}{\infty}$):

    Sia $f,g:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ e sia $x_*$ o un punto di accumulazione $x_0\in(a,b)$ oppure $\pm\infty$. Si ha: $$\left.\begin{array}{r} \lim\limits_{x\rightarrow x_{*}}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow x_{*}}g(x) = 0\mbox{ oppure }\pm\infty\\ f,g\mbox{ derivabili }\forall x\neq x_0\\ g'(x)\neq 0\ \forall x\mbox{ appartenente ad un intorno di } x_{*}\\ \exists\lim\limits_{x\rightarrow x_{*}}\frac{f'(x)}{g'(x)}\end{array}\right\}\Rightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_{*}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow x_{*}}\frac{f'(x)}{g'(x)}$$

Max e min relativi e assoluti

  • TEOREMA DI FERMAT:

    Sia $f:X\rightarrow\mathbb R$, $x_0\in\mathop X\limits^ \circ$ punto di max o min relativo tale che $\exists\ f'(x_0)$. Si ha: $$f'(x_0)=0$$

  • Sia $f:X\rightarrow\mathbb R$ una funzione continua in $x_0$ e derivabile in un suo intorno. Allora:
    1. $\left.\begin{array}{r} f'(x)> 0\quad \forall x \in I_-(x_0)\\ f'(x) < 0\quad \forall \in I_+(x_0)\end{array}\right\}\Rightarrow\quad x_0 \mbox{ max relativo per } f$
    2. $\left.\begin{array}{r} f'(x)< 0\quad \forall x \in I_-(x_0)\\ f'(x) > 0\quad \forall x \in I_+(x_0)\end{array}\right\}\Rightarrow\quad x_0 \mbox{ min relativo per } f$
  • Sia $f:X\rightarrow\mathbb R$ derivabile $n$ volte e sia $x_0$ tale che $$f'(x_0)=f''(x_0)=\dots=f^{(n-1)}(x_0)=0\quad\mbox{ e }\quad f^{(n)}(x_0)\neq 0,$$ allora
    1. $n$ pari e $f^{(n)}(x_0)<0\quad\Rightarrow\quad x_0$ max relativo
    2. $n$ pari e $f^{(n)}(x_0)>0\quad\Rightarrow\quad x_0$ min relativo
    3. $n$ dispari e $f^{(n)}(x_0)>0\quad\Rightarrow\quad f$ crescente in $x_0$
    4. $n$ dispari e $f^{(n)}(x_0)<0\quad\Rightarrow\quad f$ decrescente in $x_0$

Ricerca dei max e min relativi

  • Se $f:X\rightarrow\mathbb R$ è derivabile nell'interno di $X$ allora
    1. si risolve l'equazione $f'(x)=0$ per determinare i punti critici
    2. si applica il teorema 2) o 3) (visti sopra) per decidere se si tratta di max o min relativi.
  • Se $f:X\rightarrow\mathbb R$ non è derivabile nell'interno di $X$ allora occorre esaminare due tipi di punti:
    1. punti critici (vedi caso precedente)
    2. i punti $x_0\in\mathop X\limits^ \circ$ tali che $\not\exists f'(x_0)$: in questo caso bisogna verificare se si tratta di minimo o di massimo relativo applicando la definizione.

Ricerca dei max e min assoluti

  • Confrontare i valori che $f:X\rightarrow\mathbb R$ assume nei punti dei seguenti insiemi:
    1. $\left\{x\in\mathop X\limits^ \circ\ :\ f'(x)=0 \right\}$
    2. $\left\{x\in\mathop X\limits^ \circ\ :\ \not\exists\ f'(x) \right\}$
    3. $\left\{x\in FX\cup X \right\}$
  • Scegliere il più grande $M$ e il più piccolo $m$ per trovare rispettivamente il massimo e il minimo della funzione

Integrali

Integrale
(forma semplice)
PrimitiveIntegrale
(forma generale)
Primitive
$\int{0}\ dx$ $0$    
$\int{k}\ dx,\ k\in\mathbb R$ $kx+c$    
$\int{x^\alpha}\ dx,\quad\alpha\in\mathbb R\setminus\{-1\}$ $\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+c$ $\int{\left[f(x)\right]^\alpha\cdot f'(x)}\ dx,\quad\alpha\in\mathbb R\setminus\{-1\}$ $\frac{\left[f(x)\right]^{\alpha+1}}{\alpha+1}$
$\int{\frac{1}{2\sqrt{x}}}\ dx$ $\sqrt{x}+c$ $\int{\frac{1}{2\sqrt{f(x)}}\cdot f'(x)}\ dx$ $\sqrt{f(x)}+c$
$\int{e^x}\ dx$ $e^x+c$ $\int{e^{f(x)}\cdot f'(x)}\ dx$ $e^{f(x)}+c$
$\int{a^x}\ dx$ $\frac{a^x}{\ln a}+c$ $\int{a^{f(x)}\cdot f'(x)}\ dx$ $\frac{a^{f(x)}}{\ln a}+c$
$\int{\frac{1}{x}}\ dx$ $\ln{|x|}+c$ $\int{\frac{1}{f(x)}\cdot f'(x)}\ dx$ $\ln{|f(x)|}+c$
$\int{\cos x}\ dx$ $\sin x+c$ $\int{\cos\left[f(x)\right]\cdot f'(x)}\ dx$ $\sin{f(x)}+c$
$\int{\sin x}\ dx$ $-\cos x+c$ $\int{\sin\left[f(x)\right]\cdot f'(x)}\ dx$ $-\cos{f(x)}+c$
$\int{\frac{1}{\cos^2{x}}}\ dx$ $\tan x+c$ $\int{\frac{f'(x)}{\cos^2{f(x)}}}\ dx$ $\tan{f(x)}+c$
$\int{-\frac{1}{\sin^2{x}}}\ dx$ $\cot x+c$ $\int{-\frac{f'(x)}{\sin^2{f(x)}}}\ dx$ $\cot{f(x)}+c$
$\int{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\ dx$ $\arcsin{x}+c$ $\int{\frac{1}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\cdot f'(x)}\ dx$ $\arcsin{f(x)}+c$
$\int{-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\ dx$ $\arccos{x}+c$ $\int{-\frac{1}{\sqrt{1-[f(x)]^2}}\cdot f'(x)}\ dx$ $\arccos{f(x)}+c$
$\int{\frac{1}{1+x^2}}\ dx$ $\arctan{x}+c$ $\int{\frac{1}{1+[f(x)]^2}\cdot f'(x)}\ dx$ $\arctan{f(x)}+c$
$\int{-\frac{1}{1+x^2}}\ dx$ $arccot\ x+c$ $\int{-\frac{1}{1+[f(x)]^2}\cdot f'(x)}\ dx$ $arccot\ f(x)+c$
$\int{\cosh x}\ dx$ $\sinh x+c$ $\int{\cosh\left[f(x)\right]\cdot f'(x)}\ dx$ $\sinh{f(x)}+c$
$\int{\sinh x}\ dx$ $\cosh x+c$ $\int{\sinh\left[f(x)\right]\cdot f'(x)}\ dx$ $\cosh{f(x)}+c$
$\int{\frac{1}{\cosh^2{x}}}\ dx$ $\tanh x+c$ $\int{\frac{f'(x)}{\cosh^2{f(x)}}}\ dx$ $\tanh{f(x)}+c$
$\int{\frac{1}{\sinh^2{x}}}\ dx$ $\coth x+c$ $\int{\frac{f'(x)}{\sinh^2{f(x)}}}\ dx$ $\coth{f(x)}+c$

Teoremi sul calcolo integrale

  • INTEGRALE DEL PRODOTTO DI UNA COSTANTE $k$ PER UNA FUNZIONE $f$: $$\int k\cdot f(x)\ dx=k\cdot \int f(x)\ dx$$
  • INTEGRALE DELLA SOMMA DI DUE FUNZIONI $f$ e $g$: $$\int f(x)+g(x)\ dx=\int f(x)\ dx+\int g(x)\ dx$$
  • METODO DI INTEGRAZIONE PER PARTI: $$\int f'(x)\cdot g(x)\ dx=f(x)\cdot g(x)-\int f(x)\cdot g'(x)\ dx$$
  • ESTENSIONE DEL CONCETTO DI INTEGRALE: $$\int_a^bf(x)\ dx = -\int_b^a f(x)\ dx$$
  • PROPRIETA' ADDITIVA DELL'INTEGRALE ($c\in[a,b]$): $$\int_a^bf(x)\ dx =\int_a^cf(x)\ dx +\int_c^bf(x)\ dx$$
  • TEOREMA FONDAMENTALE DEL CALCOLO INTEGRALE:

    Se $f(x):[a,b]\rightarrow\mathbb R$ è continua in $[a,b]$, allora, per ogni $x\in [a,b]$ si ha: $$F(x)=\int_a^xf(x)\ dx\quad\Rightarrow\quad F'(x)=f(x)$$

  • TEOREMA DELLA MEDIA:

    Se $f(x):[a,b]\rightarrow\mathbb R$ è continua in $[a,b]$, esiste $c\in [a,b]$ tale che: $$\int_a^bf(x)\ dx=(b-a)\cdot f(c)$$

Integrali impropri

  • Se $f(x):(a,b)\rightarrow\mathbb R$ è continua in $]a,b]$, si ha: $$\int_a^b f(x)\ dx=\lim\limits_{x_0\rightarrow a^+}\int_{x_0}^b f(x)\ dx$$
  • Se $f(x):(a,b)\rightarrow\mathbb R$ è continua in $[a,b[$, si ha: $$\int_a^b f(x)\ dx=\lim\limits_{x_0\rightarrow b^-}\int_a^{x_0} f(x)\ dx$$
  • Se $f(x):(a,b)\rightarrow\mathbb R$ è continua in $[a,b]\setminus \{c\}$ con $c\in]a,b[$, si ha: $$\int_a^b f(x)\ dx=\lim\limits_{x_0\rightarrow c^-}\int_a^{x_0} f(x)\ dx+\lim\limits_{x_0\rightarrow c^+}\int_{x_0}^b f(x)\ dx$$
  • Se $f(x):[a,+\infty[\rightarrow\mathbb R$ è integrabile in $[a,+\infty[$, si ha: $$\int_a^{+\infty} f(x)\ dx=\lim\limits_{x_0\rightarrow +\infty}\int_a^{x_0} f(x)\ dx$$
  • Se $f(x):]-\infty,b]\rightarrow\mathbb R$ è integrabile in $]-\infty,b]$, si ha: $$\int_{-\infty}^b f(x)\ dx=\lim\limits_{x_0\rightarrow -\infty}\int_{x_0}^b f(x)\ dx$$
  • Se $f(x):]-\infty,+\infty[\rightarrow\mathbb R$ è integrabile in $]-\infty,+\infty[$, si ha: $$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\ dx=\lim\limits_{\begin{array}{l} x_1\rightarrow -\infty\\ x_2\rightarrow +\infty\end{array}}\int_{x_1}^{x_2} f(x)\ dx$$

Criteri di integrabilità

Se $f(x)$ è una funzione continua in $[a,b[$ e se $$\lim\limits_{x\rightarrow b^-}(b-x)^pf(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{con } p < 1,\mbox{ allora } \int_a^bf(x)\ dx\mbox{ converge}\\ \infty & \mbox{con } p \ge 1,\mbox{ allora } \int_a^bf(x)\ dx\mbox{ diverge}\\ l\in\mathbb R\setminus\{0\} &\mbox{ allora } \int_a^bf(x)\ dx\mbox{ converge se e solo se } p < 1\end{cases}$$

Se $f(x)$ è una funzione continua in $]a,b]$ e se $$\lim\limits_{x\rightarrow a^+}(x-a)^pf(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{con } p < 1,\mbox{ allora } \int_a^bf(x)\ dx\mbox{ converge}\\ \infty & \mbox{con } p \ge 1,\mbox{ allora } \int_a^bf(x)\ dx\mbox{ diverge}\\ l\in\mathbb R\setminus\{0\} &\mbox{ allora } \int_a^bf(x)\ dx\mbox{ converge se e solo se } p < 1\end{cases}$$

Se $f(x)$ è una funzione continua in $[a,+\infty[$ e se $$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}x^pf(x)=\begin{cases} 0 & \mbox{con } p > 1,\mbox{ allora } \int_a^{+\infty}f(x)\ dx\mbox{ converge}\\ \infty & \mbox{con } p \le 1,\mbox{ allora } \int_a^{+\infty}f(x)\ dx\mbox{ diverge}\\ l\in\mathbb R\setminus\{0\} &\mbox{ allora } \int_a^{+\infty}f(x)\ dx\mbox{ converge se e solo se } p > 1\end{cases}$$

Funzione inversa e retta tangente

Una funzione strettamente monotona (crescente o decrescente) è invertibile.

Se una funzione $f(x)$ è invertibile e derivabile in $x_0$ con $y_0=f(x_0)$, allora la sua derivata prima nel punto sarà: $$Df^{-1}(y_0)=\frac{1}{f'(x_0)}$$

L'equazione della retta tangente al grafico della funzione $y=f(x)$ nel punto $x_0$ è $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0)$$ dove $f'(x_0)$ è la derivata della funzione $f$ calcolata nel punto $x=x_0$.

Serie numeriche

Serie a termini non negativi

Condizione necessaria affinchè una serie a termini non negativi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ converga è che $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n=0$$

Criteri per la determinazione del carattere di una serie numerica

  • CRITERIO DEL RAPPORTO: $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=l \left\{ \begin{array}{ll} < 1 &\mbox{la serie converge}\\ > 1 &\mbox{la serie diverge}\\ = 1 &\mbox{nulla si può dire}\end{array} \right.$$
  • CRITERIO DELLA RADICE: $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\sqrt[n]{a_n}=l \left\{ \begin{array}{ll} < 1 &\mbox{la serie converge}\\ > 1 &\mbox{la serie diverge}\\ = 1 &\mbox{nulla si può dire}\end{array} \right.$$
  • CRITERIO DI RAABE: $$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)=l \left\{ \begin{array}{ll} < 1 &\mbox{la serie diverge}\\ > 1 &\mbox{la serie converge}\\ = 1 &\mbox{nulla si può dire}\end{array} \right.$$
  • CRITERIO DI CONDENSAZIONE DI CAUCHY:

    Se $a_n$ è non crescente ($a_{n+1}\le a_n\ \forall n\in\mathbb N$), la serie è convergente se e solo se lo è anche: $$\sum\limits_{n=0}^{+\infty} 2^n a_{2^n}$$

  • CRITERIO DEL CONFRONTO:

    Siano $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n,\quad\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$ due serie a termini non negativi con $a_n\le b_n\ \forall n\in\mathbb N$, allora:

    1. Se $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$ è convergente con somma $B$, anche $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è convergente con somma $A\le B$.
    2. Se $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è divergente, anche $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$ è divergente.
  • CRITERIO DEL CONFRONTO CON LA SERIE ARMONICA GENERALIZZATA:

    La serie armonica generalizzata è data da: $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{n^p}=\left\{ \begin{array}{ll} +\infty &\mbox{se } p\le 1\\ < +\infty &\mbox{se } p> 1\end{array} \right.$$

    1. Se $\exists\ p>1:\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\cdot n^p< +\infty$, allora la serie converge
    2. Se $\exists\ p\le 1:\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\cdot n^p\in\ ]0,+\infty]$, allora la serie diverge

Serie a termini alterni e serie oscillanti

Indichiamo con $S$ la somma della serie e con $S_n$ la somma parziale dei primi $n$ termini.

  • TEOREMA DI LEIBENITS:

    Se $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^n a_n,\ a_n\ge 0\ \forall n\in\mathbb N$, $a_n$ monotona non crescente ($a_{n+1} \le a_n\ \forall n\in\mathbb N$) e $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n=0$ allora la serie converge ed inoltre $|S-S_n|\le a_{n+1}$.

  • TEOREMA DELLE SERIE OSCILLANTI:

    Se $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} (-1)^n a_n,\ a_n\ge 0\ \forall n\in\mathbb N$, $a_n$ monotona non decrescente ($a_{n+1} \ge a_n\ \forall n\in\mathbb N$) e $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\neq 0$ allora la serie oscilla.

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.