Formulario di geometria analitica

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Indice degli argomenti

  • Retta
  • Circonferenza
  • Parabola
  • Ellisse
  • Iperbole
  • Retta

    Equazione della retta in forma implicita

    $$ax+by+c=0$$

    Se $a=0$ retta parallela all'asse $x$, se $b=0$ retta parallela all'asse $y$.

    Equazione della retta in forma esplicita

    $$y=mx+q$$ dove $m$ chiamasi COEFFICIENTE ANGOLARE.

    Coefficiente angolare della retta in forma implicita

    $$m=-\frac{a}{b},\quad b\neq 0$$

    Se la retta è parallela all'asse $x$, $m=0$, se invece è parallela all'asse $y$, $m=\infty$ (in questo caso diremo che non esiste).

    Coefficiente angolare dati due punti della retta

    $$m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$$ dove $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$ sono i punti suddetti.

    Angolo formato dalla retta con l'asse $x$ con coefficiente angolare dato

    $$\alpha=\arctan{m}$$

    Angolo formato da due rette con coefficienti angolare dati

    $$\alpha=\arctan\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)$$ dove $m_1$ ed $m_2$ sono rispettivamente i coefficienti angolari della prima e della seconda retta.

    Condizione di parallellismo tra due rette

    $$m_1=m_2$$

    Condizione di perpendicolarità tra due rette

    $$m_1=-\frac{1}{m_2}$$

    Equazione della retta passante per due punti

    $$\frac{x-x_1}{x_2-x_1}=\frac{y-y_1}{y_2-y_1},\quad x_1\neq x_2\mbox{ e } y_1\neq y_2$$ dove $P_1(x_1,y_1)$ e $P_2(x_2,y_2)$ sono i punti suddetti.

    Equazione della retta passante per un punto e con coefficiente angolare dato

    $$y-y_0=m(x-x_0)$$ dove $P_1(x_0,y_0)$ è il punto suddetto.

    Distanza retta punto

    $$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ dove $P_1(x_0,y_0)$ è il punto suddetto.

    Distanza tra due punti

    $$d=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$$

    Punto medio

    $$M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$$

    Fascio proprio di rette (rette che hanno un solo punto in comune)

    $$y-y_c=m(k)(x-x_c)$$

    Il coefficiente angolare varia al variare del paramentro $k$.

    Fascio improprio di rette (fascio di rette parallele)

    $$y=mx+q(k)$$

    Stavolta, il termine $q$ varia al variare di $k$.

    Circonferenza

    Equazione della circonferenza in forma standard

    $$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$$ dove $C(x_c,y_c)$ è il centro della circonferenza ed $r$ è il raggio.

    Equazione della circonferenza in forma canonica

    $$x^2+y^2+ax+by+c=0$$ dove $a= -2x_c,\quad b=-2y_c,\quad c=x_c^2+y_c^2-r^2$

    Coordinate del centro

    $$C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)$$

    Lunghezza del raggio

    $$r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c}$$
    • CIRCONFERENZA REALE:

      se $a^2+b^2-4c>0$. In questo caso infiniti sono i punti che appartengono al luogo da essa individuato.

    • CIRCONFERENZA DEGENERE:

      se $a^2+b^2-4c=0$. In questo caso solo un punto appartiene al luogo da essa individuato, ovvero il centro.

    • CIRCONFERENZA NON REALE:

      se $a^2+b^2-4c<0$. In questo caso non esistono punti che appartengono al luogo da essa individuato.

    Equazione asse radicale di due circonferenze

    Date le circonferenze $$\begin{array}{c} C: x^2+y^2+a_1x+b_1y+c_1=0\\ C': x^2+y^2+a_2x+b_2y+c_2=0\end{array}$$ l'equazione dell'asse radicale è: $$(a_1-a_2)x+(b_1-b_2)y+c_1-c_2=0$$

    Parabola

      Parabola con asse di
    simmetria verticale
    Parabola con asse di
    simmetria orizzontale
    Equazione $y=ax^2+bx+c$ $x=ay^2+by+c$
    Vertice $V\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$ $V\left(-\frac{\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)$
    Fuoco $F\left(-\frac{b}{2a},\frac{1-\Delta}{4a}\right)$ $F\left(\frac{1-\Delta}{4a},-\frac{b}{2a}\right)$
    Asse simmetria $x=-\frac{b}{2a}$ $y=-\frac{b}{2a}$
    Direttrice $y=-\frac{1+\Delta}{4a}$ $x=-\frac{1+\Delta}{4a}$
    Equazione con vertice dato $y-y_v=a(x-x_v)^2$ $x-x_v=a(y-y_v)^2$

    Ellisse

    Equazione dell'ellisse in forma generale

    $$ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0$$

    Equazione dell'ellisse in forma canonica

    $$\frac{(x-x_c)^2}{a^2}+\frac{(y-y_c)^2}{b^2}=1$$ dove $C(x_c,y_c)$ è il centro dell'ellisse e $a$ e $b$ rappresentano rispettivamente le misure del semiasse orizzontale e del semiasse verticale. Per comodità considereremo l'ellisse centrata nell'origine: $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

    Coordinate dei fuochi

    $$\mbox{Se } a^2 > b^2\Rightarrow \left\{\begin{array}{l} F_1(-c,0)\\ F_2(c,0)\end{array}\right.\quad\quad\mbox{con } c=\sqrt{a^2-b^2}$$ $$\mbox{Se } a^2 < b^2\Rightarrow\left\{\begin{array}{l} F_1(0,-c)\\ F_2(0,c)\end{array}\right.\quad\quad\mbox{con } c=\sqrt{b^2-a^2}$$

    Coordinate dei quattro vertici

    $$\begin{array}{l} V_1(-a,0)\\ V_2(a,0)\end{array},\quad\quad \begin{array}{l} V_3(0,b)\\ V_3(0,-b)\end{array}$$

    Lunghezza dell'asse maggiore e minore

    Le lunghezze degli assi sono rispettivamente $2a$ e $2b$.

    Eccentricità

    $$e=\begin{cases} \frac{c}{a} & \mbox{se } a^2>b^2\\ \frac{c}{b} & \mbox{se } a^2< b^2\end{cases}$$

    Iperbole

    Condizione di esistenza del luogo geometrico

    Siano $F_1$ ed $F_2$ i due fuochi e $P$ un punto generico del luogo. Indichiamo con $2c$ la distanza tra i due fuochi (DISTANZA FOCALE) e con $2a$ la differenza costante delle distanze dei punti dell'iperbole dai fuochi.

    La condizione affichè il luogo esista è che sia: $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}| < F_1F_2\quad\Leftrightarrow\quad 2a < 2c$$

    Condizione di appartenenza di un punto $P(x,y)$ all'iperbole riferita ai propri assi (con fuochi sugli assi)

    $$|\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=2a$$
      Iperbole che interseca
    l'asse $x$
    Iperbole che interseca
    l'asse $y$
    Equazione canonica con centro in $(0,0)$ $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$
    Vertici reali $V_1(-a,0)\quad V_2(a,0)$ $V_1(0,-b)\quad V_2(0,b)$
    Asintoti $y=\pm\frac{b}{a}x$ $y=\pm\frac{b}{a}x$
    Fuochi $(c=\sqrt{a^2+b^2})$ $F_1(-c,0)\quad F_2(c,0)$ $F_1(0,-c)\quad F_2(0,c)$
    Eccentricità $(c=\sqrt{a^2+b^2})$ $e=\frac{c}{a}$ $e=\frac{c}{b}$

    Equazione iperbole non centrata nell'origine

    Detto $C(x_c,y_c)$ il centro dell'iperbole, si ha: $$\begin{array}{l} \mbox{se } a^2>b^2\quad\Rightarrow\quad\frac{(x-x_c)^2}{a^2}-\frac{(y-y_c)^2}{b^2}=1\\ \mbox{se } a^2 < b^2\quad\Rightarrow\quad\frac{(y-y_c)^2}{b^2}-\frac{(x-x_c)^2}{a^2}=1\end{array}$$

    Iperbole equilatera

    Si ottiene quando $a=b$. La lunghezza del semiasse trasverso sarà: $$a=\sqrt{2|c|}$$

      Iperbole equilatera
    con $c>0$
    Iperbole equilatera con $c<0$
    Equazione canonica con centro in $(0,0)$ $xy=c$ $xy=c$
    Fuochi $F_1\left(-\sqrt{2c},-\sqrt{2c}\right)$
    $F_2\left(\sqrt{2c},\sqrt{2c}\right)$
    $F_1\left(-\sqrt{2(-c)},\sqrt{2(-c)}\right)$
    $F_2\left(\sqrt{2(-c)},-\sqrt{2(-c)}\right)$
    Vertici $V_1\left(-\sqrt{c},-\sqrt{c}\right)$
    $V_2\left(\sqrt{c},\sqrt{c}\right)$
    $V_1\left(-\sqrt{(-c)},\sqrt{(-c)}\right)$
    $V_2\left(\sqrt{(-c)},-\sqrt{(-c)}\right)$

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