limite di una funzione fratta

4 Anni 7 Mesi fa - 4 Anni 7 Mesi fa #25 da ale
limite di una funzione fratta è stato creato da ale
Ciao a tutti e grazie per la vostra attenzione,

Ho il seguente limite di una funzione fratta nella sua forma indeterminata inf/inf

$\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(1-x^{3})^{2}}{(x^{2}+1)^{3}}$

Grazie in anticipo per ogni aiuto

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4 Anni 7 Mesi fa - 4 Anni 7 Mesi fa #26 da Samuel
Risposta da Samuel al topic limite di una funzione fratta
Ciao Ale,
per calcolare il limite per $x$ che tende a infinito di un rapporto tra polinomi, bisogna utilizzare la seguente regola che tiene conto del loro grado:
siano $A(x)$ e $B(x)$ due polinomi di grado $n$ e $m$ rispettivamente, ovvero del tipo:
$$\begin{eqnarray}
A(x) &=& a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_1x+a_0\\
B(x) &=& b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\dots +b_1x+b_0\end{eqnarray}$$
Allora si ha:
$$\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{A(x)}{B(x)}=\begin{cases}
\infty & \mbox{se } n > m\\
0 & \mbox{se } n < m\\
\frac{a_n}{b_m}& \mbox{se } n = m\end{cases}$$

Nel nostro caso abbiamo che:
$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{(1-x^3)^2}{(x^2+1)^3} = \lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \frac{x^6-2x^3+1}{x^6+3x^4+3x^2+1}=\frac{1}{1}=1$

Infatti, essendo il grado del polinomio al numeratore = grado del polinomio al denominatore, il risultato del limite è il rapporto tra i rispettivi coefficienti di grado massimo, ovvero i coefficienti di $x^6$ che valgono entrambi $1$.


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