Limite di successione senza De L'Hopital

2 Anni 11 Mesi fa #111 da Fabry97
Salve a tutti: ho già scritto un post a riguardo sulla vostra pagina Facebook su questo limite e lo reposto sinteticamente qui sopra nella speranza che riusciate ad aiutarmi. Vi rammento solo che, qualsiasi modo utilizziate per la risoluzione, NON potete applicare il Teorema di de l'Hôpital, poiché, detto in maniera molto riassuntiva, il mio professore mi avrebbe bocciato se avessi fatto altrimenti. Ringrazio di cuore a tutti quanti!:

$$\lim_{n\rightarrow +\infty}n^2\left [ e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right ]$$

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2 Anni 11 Mesi fa - 2 Anni 11 Mesi fa #112 da Samuel
Ciao Fabry97 e benvenuto nel mio sito :)
Dato che la successione $\left (1+\frac{1}{n}\right )^n$ è crescente ed ha come limite (per $n\to +\infty$), nonchè come estremo superiore il numero di nepero $e$, puoi dire che
$$e> \left (1+\frac{1}{n}\right )^n$$
dunque
$$e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n>0$$

Poichè la successione in questione è il prodotto tra $n^2$ che tende a $+\infty$ e una quantità maggiore di 0 puoi dire che:
$$\lim_{x\to +\infty}n^2\cdot\left [e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]= +\infty$$


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2 Anni 11 Mesi fa #113 da Fabry97
Grazie mille Samuel! In effetti è una spiegazione che si rifà molto alla definizione del limite della successione (1+1/n)^n e potrebbe starci. Ci avevo pensato anch'io a dire la verità, solo che non sapevo se uno svolgimento molto "teorico" sarebbe stato valido allo stesso modo, ma credo di sì. Unica cosa: grazie al calcolatore, ho notato però che questo ragionamento è applicabile solo in questo caso specifico. In teoria si potrebbe dire lo stesso del seguente limite:
$$\lim_{n\rightarrow +\infty}n\left [ e-\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right ]$$
in quanto, anche in questo caso la n fuori dalle parentesi è una quantità che tende all'infinito, ma in questo caso il risultato del limite sarebbe stato e/2. Quindi, secondo voi, questo secondo limite che ho appena scritto sarebbe stato impossibile da risolvere senza de l'Hopital (e quindi sarebbe stato impossibile trovarlo nel compito di un professore che ne vieta l'utilizzo)? Scusate se faccio troppi ragionamenti inutili, ma mi fanno capire al meglio come funziona la materia, almeno per quanto mi riguarda. Grazie infinite ancora comunque!

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2 Anni 11 Mesi fa - 2 Anni 11 Mesi fa #114 da Samuel
Nel ragionamento che ho fatto c'è un errore perchè la disuguaglianza
$$e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n>0$$
non mi permette di poter sciogliere la forma indeterminata $0\cdot\infty$.
Si potrebbe provare che $\forall n\geq 1$ vale
$$e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\geq\frac{e}{2n+2}$$
Pertanto
$$n^2\left [e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]\geq n^2\frac{e}{2n+2}\stackrel{n\to +\infty}{\longrightarrow} +\infty$$
e
$$n\left [e-\left (1+\frac{1}{n}\right )^n\right ]\geq n\frac{e}{2n+2}\stackrel{n\to +\infty}{\longrightarrow} \frac{e}{2}$$


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2 Anni 11 Mesi fa #115 da Fabry97
Ti ringrazio ancora per la pazienza! Questa dimostrazione mi convince molto di più, oltre ad essere più ricca di calcoli e ad andare bene per entrambi i limiti, quindi adesso mi sento pienamente soddisfatto! Strano che il nostro prof non ci abbia mai fatto esercitare su casi così particolari o comunque usando questi strumenti; ci ha sempre detto di usare o le sostituzioni, o i limiti notevoli o taylor come si fa di solito; certamente poteva capitare un limite scritto in una maniera più ambigua, ma in quel caso bastava solo riscriverlo in una forma più comoda per poter essere calcolato. Ragionamenti di questo genere invece non ne abbiamo mai fatti e ti faccio ancora i complimenti, perché, per quanto mi riguarda almeno, ci vuole una buona dose di intuito per un calcolo di questo genere.

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2 Anni 11 Mesi fa #116 da Samuel
Questo non è un modo comune per risolvere i limiti e come tu stesso hai detto spesso ci si aiuta con i limiti notevoli, con De L'Hopital o con Taylor.
In ogni caso sono contento di esserti stato ti aiuto :)
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