Integrale doppio esteso a dominio con arcoseno

3 Anni 7 Mesi fa - 3 Anni 7 Mesi fa #117 da giacomo22
Buongiorno a tutti! Sto preparando l'esame di analisi 2 e volevo avere un conferma riguardo ad un integrale doppio del tipo:
$$\iint_{D} x^4$$
Dove $$D =\left \{ (x,y):xy\arcsin(x^2+y^2-1)\geq 0 \right \}$$
Vi spiego anche come ho proceduto: innanzitutto ho moltiplicato da ambo i lati della disuguaglianza del dominio per un seno, in modo da togliermi quel fastidioso arcoseno; ho poi tenuto conto di quando xy è maggiore e uguale a zero, cioè quando consideriamo primo e terzo quadrante; dopo aver eliminato l'arcoseno, ho trovato x^2+y^2 maggiore o uguale a 1, cioè devo considerare il piano al di fuori della circonferenza di raggio 1. In un primo momento ho pensato di aver sbagliato, dato che mi pareva avessi preso una regione di piano illimitato, poi ho riflettuto su una cosa ed è quella sulla quale vorrei avere maggiore conferma: essendo in origine un arcoseno, e cioè una funzione con x compreso fra -1 ed 1 ed y fra -pi/2 e pi/2, ho posto anche queste altre due limitazioni in modo da trovarmi un dominio limitato. Sapreste dirmi se ho fatto bene? Dopodiché ho considerato i due domini, l'uno nel primo e l'altro nel terzo quadrante. D'ora in poi considero solo quello nel primo dato che il discorso è analogo per il terzo. Venendomi come dominio una figura somma tra un rettangolo ed una sorta di triangolo avente però uno dei lati corrispondenti con un quarto di circonferenza, ho spaccato questo dominio nei domini delle due rispettive figure descritte sopra e li ho posti normali rispetto ad y: il dominio del rettangolo con $$1\leq y\le pi/2$$ e $$0\leq x\le 1$$ ed il dominio del "triangoloide" con $$0\leq y\le 1$$ e $$\sqrt{(1-y)^2}\leq x\leq 1$$. Calcolo infine gli integrali definiti che ne seguono, anche se uno di essi viene una cosa del tipo $$\int (1-x^2)^{5/2}$$ che sicuramente è risolvibile, ma il risultato mi sembra troppo grosso per stare in un compito d'esame, altra cosa per cui dunque chiedo conferma qualora avessi sbagliato. Dato che non ho ancora preso molto la mano con questi integrali doppi volevo avere una mano per correggere eventuali errori frutto di abitudini sbagliate e fraintendimenti. Vi ringrazio molto della vostra attenzione!

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3 Anni 7 Mesi fa - 3 Anni 7 Mesi fa #118 da Samuel
Ciao giacomo22 e benvenuto nel mio forum.
Il ragionamento mi sembra corretto, devo solo verificare i calcoli. Domani ti dico :)


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3 Anni 7 Mesi fa #119 da giacomo22
Perfetto! Ti ringrazio molto ed è già un sollievo per me che tu mi abbia rassicurato in merito al ragionamento. I calcoli sono un altro bel problema, dato che in un esercizio così lungo è facilissimo che io sia stato disattento in qualche passaggio, per cui puoi prenderti tutto il tempo che ti è necessario per eseguire questi calcoli. Quando mi darai il risultato, ti confermerò se mi trovo.

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3 Anni 7 Mesi fa - 3 Anni 7 Mesi fa #120 da Samuel
Innanzitutto, come hai ben notato tu (ma con qualche errore di calcolo), il dominio D è definito per valori dell'argomento dell'arcoseno compresi tra -1 e 1, quindi:
$$-1\leq x^2+y^2-1\leq 1\ \Rightarrow\ 0\leq x^2+y^2\leq 2$$
Distinguiamo i casi $xy > 0$ e $xy < 0$ per poter togliere l'arcoseno come hai fatto tu. Il dominio $D$ verrà così scomposto in due:
$$D_1:\begin{cases}
xy > 0\\
x^2+y^2\geq 1\\
0\leq x^2+y^2\leq 2\end{cases}\ \Rightarrow\ D_1:\begin{cases}
xy > 0\\
1\leq x^2+y^2\leq 2\end{cases}$$
e
$$D_2:\begin{cases}
xy < 0\\
x^2+y^2\leq 1\\
0\leq x^2+y^2\leq 2\end{cases}\ \Rightarrow\ D_2:\begin{cases}
xy < 0\\
0\leq x^2+y^2\leq 1\end{cases}$$
A sua volta, entrambi i domini sono unione di due domini rappresentati nella figura qui sotto.

Allegato doppio.png non trovato



Per come è fatto il dominio, ti conviene applicare una trasformazione in coordinate polari:
$$\begin{cases}
x=\rho\cos\theta\\
y=\rho\sin\theta\end{cases}$$
con $\rho$ e $\theta$ che variano in un intervallo chiuso e limitato a seconda a quale sottodominio si fa riferimento.
In particolare, i domini di cui sopra, mediante la trasformazione diventano:
$$\begin{eqnarray}
D_1'&=&\{(\rho,\theta):\rho\in [1,\sqrt{2}],\ \theta\in[0,\pi/2]\}\\
D_1^{''}&=&\{(\rho,\theta):\rho\in [1,\sqrt{2}],\ \theta\in[\pi,3\pi/2]\}\\
D_2'&=&\{(\rho,\theta):\rho\in [0,1],\ \theta\in[\pi/2,\pi]\}\\
D_2^{''}&=&\{(\rho,\theta):\rho\in [0,1],\ \theta\in[3\pi/2,2\pi]\}\end{eqnarray}$$
Alla luce di ciò, e ricordando che lo Jacobiano della trasformazione effettuata è $\rho$, possiamo scrivere:
$$\begin{eqnarray}
\int\int_Dx^4\ dxdy&=&\int\int_{D_1'}\rho^5\cos^4\theta\ d\theta d\rho+
\int\int_{D_1^{''}}\rho^5\cos^4\theta\ d\theta d\rho+\\
&+&\int\int_{D_2'}\rho^5\cos^4\theta\ d\theta d\rho+
\int\int_{D_2^{''}}\rho^5\cos^4\theta\ d\theta d\rho=\\
&=&\int_0^{\pi/2}\cos^4\theta\ d\theta\int_1^{\sqrt{2}}\rho^5 d\rho+
\int_\pi^{3\pi/2}\cos^4\theta\ d\theta\int_1^{\sqrt{2}}\rho^5 d\rho+\\
&+&\int_{\pi/2}^{\pi}\cos^4\theta\ d\theta\int_0^1\rho^5 d\rho+
\int_{3\pi/2}^{2\pi}\cos^4\theta\ d\theta\int_0^1\rho^5 d\rho\end{eqnarray}$$
I conti da fare non sono molti. Infatti tralasciando l'integrale di $\rho^5$ che banalmente è $\frac{\rho^6}{6}$, bisogna calcolare l'integrale di $\cos^4\theta$.
Il modo più semplice è riscriverlo come $\cos^2\theta\cdot\cos^2\theta$ e usare la formula di duplicazione del coseno:
$$\cos^2\theta=\frac{1+\cos 2\theta}{2}$$
Avremo:
$$\begin{eqnarray}
\int\cos^4\theta\ d\theta &=& \int\left (\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right )^2\ d\theta=\\
&=& \frac{1}{4}\int 1+2\cos 2\theta+\cos^2 2\theta\ d\theta=\\
&=&\frac{1}{4}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\frac{1}{4}\int\cos^2 2\theta\ d\theta=(\bigstar)\end{eqnarray}$$
Rimane da risolvere l'ultimo integrale sempre utilizzando la formula di duplicazione del coseno:
$$\begin{eqnarray}
\int\cos^2 2\theta\ d\theta &=& \int\frac{1+\cos 4\theta}{2}\ d\theta=\\
&=&\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{8}\sin 4\theta\end{eqnarray}$$

Quindi
$$\begin{eqnarray}
(\bigstar)&=&\frac{1}{4}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\frac{1}{4}\left (\frac{1}{2}\theta+\frac{1}{8}\sin 4\theta\right )=\\
&=& \frac{1}{4}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\frac{1}{8}\theta+\frac{1}{32}\sin 4\theta=\\
&=&\frac{3}{8}\theta+\frac{1}{4}\sin 2\theta+\frac{1}{32}\sin 4\theta\end{eqnarray}$$


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3 Anni 7 Mesi fa - 3 Anni 7 Mesi fa #122 da giacomo22
Ti ringrazio calorosamente della pazienza con cui hai svolto tutti i calcoli. Avendo sì compreso l'influenza dell'arcoseno, ma applicando il concetto in maniera errata, era evidente che mi fossero venuti domini diversi da quelli corretti, quando il ragionamento era molto più semplice: includere l'argomento dell'arcoseno fra -1 ed 1. Riscriverò l'esercizio nella tua stessa maniera, di modo che possa fissare lo svolgimento in testa. Ti faccio solo due domande che, perdonami tanto, sono molto banali, ma voglio estinguere ogni dubbio: Hai considerato due domini, l'uno con due maggiori o uguali e l'altro con due minori o uguali perché ovviamente anche nel secondo caso quelle due quantità negative, moltiplicate fra loro, davano una quantità maggiore o uguale a zero? La seconda domanda riguarda la strada alternativa per l'esercizio: per curiosità, ho posto comunque le quantità normali rispetto ad y: per i domini D2 non ho avuto problemi e, se i calcoli sono corretti, il volume somma del loro solido è uguale a pi/16, mentre per i domini D1 ho avuto non poche difficoltà, in primis perché ho dovuto ulteriormente suddividerli (e già i domini di per sè sono tanti), ma poi anche perché il volume avente come dominio la parte più alta/più bassa (quello che ha una forma di quarto di ellisse) ha come risultato un numero immaginario che in effetti non riesco a gestire bene. Vi chiedo allora se è normale che capitino cose di questo genere usando queste strade che, al di là della loro lunghezza, credevo mi portassero allo stesso risultato. Grazie ancora moltissimo, mi complimento della tuo/vostro servizio!

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3 Anni 7 Mesi fa - 3 Anni 7 Mesi fa #126 da Samuel
Prima domanda:

i due casi considerati includono a sua volta tutti e 4 i casi possibili ossia
$xy > 0$ include i casi $x>0,\ y>0$ e $x < 0,\ y < 0$.
Mentre $xy < 0$ include i casi $x>0,\ y < 0$ e $x < 0,\ y > 0$.

Seconda domanda:
Per il trasformare $D_1'$ in un dominio normale rispetto a $y$ devo ragionare sulla doppia disequazione $1\leq x^2+y^2\leq 2$. In particolare, separando le disequazioni ottengo:
$$\begin{cases}
x^2+y^2\leq 2\\
x^2+y^2\geq 1\end{cases}\Rightarrow
\begin{cases}
-\sqrt{2-x^2}\leq y\leq\sqrt{2-x^2} \\
y\leq -\sqrt{1-x^2}\ \vee\ y\geq\sqrt{1-x^2} \end{cases}$$
Risolvendo tale sistema e tenendo conto del fatto che in $D_1'$ si ha $y > 0$, otteniamo le seguenti limitazioni per la $y$:
$$\sqrt{1-x^2}\leq y\leq\sqrt{2-x^2}$$
La $x$ ovviamente varierà in $[0,\sqrt{2}]$.
Però, come hai notato tu, la quantità $\sqrt{1-x^2}$ non è definita per $x\in [1,\sqrt{2}]$ e quindi è necessario dividere il dominio $D_1'$ in altri 2 sottodomini delimitati dalla retta $x=1$ (vedi figura in basso):
$$\begin{eqnarray}
D_3&=&\{(x,y):\ \sqrt{1-x^2}\leq y\leq\sqrt{2-x^2},\ 0\leq x\leq 1\}\\
D_4&=&\{(x,y):\ 0\leq y\leq\sqrt{2-x^2},\ 1 < x\leq \sqrt{2}\}\end{eqnarray}$$

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