Dubbi sul significato geometrica dell'integrale multiplo:

2 Anni 10 Mesi fa - 2 Anni 10 Mesi fa #130 da Fabio
Buongiorno amministratori. Sono venuto a conoscenza di questa pagina grazie a degli amici ai quali sono molto grato, in quanto mi sono reso conto dell'ottimo lavoro svolto finora. Approfitto anch'io di questa offerta chiedendovi un parere riguardo ad un pensiero che mi è sorto: quando calcolo integrali doppi spesso lo scopo fondamentale dal punto di vista geometrico è quello di calcolare l'area/il volume di una figura a due/tre dimensioni. In particolare quando calcolo il volume di un solido, so che l'altezza, il tetto per così dire, è stabilita da una funzione in due variabili del tipo f(x,y) che associa ad x è y un elemento z delle quote che individua proprio l'altezza. Ora, facendo un esempio, se z=1-x+y, allora l'integrale doppio avrà al suo interno la funzione 1-x+y, e l'equazione poc'anzi scritta definisce un piano che taglia in in certo modo il solido e la parte sottesa sarà quella di cui dover calcolare il volume. Ma spesso, come nell'esempio del collega giacomo22 dell'esercizio precedente, l'altezza è stabilita anche solo da z=x^4, ma in tal caso non è un piano quello che si ricava da questa equazione, ma una retta/parabola, eppure ciò non intralcia i soliti calcoli che si fanno, ma la cosa mi crea difficoltà a concepire come possa essere il volume del solido se la variabile y è assente, in quanto stavolta è come se fosse una retta a tagliare il solido, ma come potrebbe farlo come da noi inteso, se è una retta e non un piano? Allora mi sono chiesto che in questi casi non calcoliamo volumi di solidi come li immaginiamo noi? Voi come potreste spiegarmi? Vi ringrazio molto della vostra presenza, attendo una risposta!

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2 Anni 10 Mesi fa #131 da Samuel
Ciao Fabio e benvenuto nel mio forum :)
La funzione $z=x^4$ non è una retta ma una superficie che se provi a graficarla ha questo aspetto:

Allegato z=x^4.png non trovato



Quindi, anche tale superficie, nonostante non sia un piano, sottende il volume di un solido. L'assenza della $y$ nell'espressione della funzione non giustifica quando da te detto: è come se dicessi che l'espressione $x-1=0$ non rappresenta una retta perchè manca la $y$.
Dunque, quando risolviamo un integrale doppio calcoliamo sempre il volume di un solido.
Non so se ho risposto ai tuoi dubbi.


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2 Anni 10 Mesi fa #132 da Fabio
Hai ragione. Scusami tanto la svista, ma è ovvio che in tal caso, essendo la funzione in due variabili, cioè f(x,y), il grafico che ne risulta è sempre una superficie. Perdonate l'abbaglio e grazie tante!

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