Grafico soluzioni sistema disequazione irrazionale

5 Anni 4 Mesi fa - 5 Anni 4 Mesi fa #21 da ale
Ciao a tutti e grazie in anticipo per il vostro tempo ed aiuto,

ho una disequazione irrazionale del tipo il cui risultato (come riportato nel libro è di "non ammettere soluzioni")

$\sqrt{x^{2} + 1} < x$

essendo una disequazione irrazionale perché contiene un radicale nel cui radicando comparare l'incognita x, questa disequazione si può ricondurre alla forma

$\sqrt{A(x)} < B(x)$

i valori che soddisfano la disequazione $\sqrt{A(x)} < B(x)$ sono le soluzioni del sistema:

$\left\{\begin{matrix}
& & \\ A(x) \geq 0
& & \\ B(x) > 0
& & \\ A(x) < B^{2}(x))
\end{matrix}\right.$

e sostituendo i valori di $\sqrt{x^{2} + 1} = x$

$\left\{\begin{matrix}
& & \\ x^{2}+1\geq 0
& & \\ x > 0
& & \\ x^{2}+1 < x^{2}
\end{matrix}\right.$

risolvendo singolarmente ogni elemento del sistema:

$x^{2}+1\geq 0$

calcolo il discriminante dell'equazione associata $x^{2}+1 = 0$ il quale risulta essere minore di zero (=$b^{2}-4ac = -4*1=-4 $) quindi la disequazione è verificata (sempre positiva) per tutti i valori di $x\epsilon R$ (linea continua) senza mai annullarsi

$x > 0$

x risulta positiva per valori maggiori di zero (linea tratteggiata a sinistra dello 0 e linea continua a destra dello zero)

$x^{2}+1 < x^{2}$

$x^{2}+1 < x^{2}$ dove $x^{2}$ a sinistra e a destra della disequazione si annullano e cosi si ottiene 1<0 che non è verifica e si omette nel grafico del sistema, cioè rimane vuoto.

facendo la tabella dei segno trovo che la disequazione $\sqrt{x^{2} + 1} < x$ è verificata per valori di x < 0

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5 Anni 4 Mesi fa #22 da Samuel
Ciao ale,
riassumo quanto detto qui di seguito:

$\begin{cases}
x^2+1 \ge 0\\
x>0\\
x^2+1<x^2\end{cases}\ \Rightarrow\ \begin{cases}
\forall x\in\mathbb R\\
x>0\\
\not\exists x\in\mathbb R\end{cases}$

Di seguito ecco come graficare le soluzioni sulla retta reale:
Spero sia chiaro adesso ;)


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5 Anni 4 Mesi fa #23 da ale
Grazie Samuel!

per ipotesi se fosse stato 1 > 0 ogni soluzione sarebbe stata valida (1 è sempre maggiore di 0) e quindi la linea sarebbe stata intera?

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5 Anni 4 Mesi fa #24 da Samuel

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