Raggio di curvatura e cerchio osculatore

3 Anni 6 Mesi fa #142 da giocapi
Data la parabola y = a*x^2 determinare in funzione di x il raggio di curvatura e il luogo dei centri dei cerchi osculatori.
Grazie.
Giovanni

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3 Anni 6 Mesi fa - 3 Anni 6 Mesi fa #143 da Samuel
Ciao giocapi e benvenuto nel mio forum.
Iniziamo col definire cos'è il raggio di curvatura e come ricavarlo
Il raggio di curvatura $R$ di una curva è il raggio del cerchio osculatore tangente alla curva (scritta in forma parametrica) nel punto considerato. Il centro di tale cerchio è posto alla distanza $R$ dal punto in direzione normale alla curva. Qui sotto un disegnino che spiega favolosamente il tutto:



Descriviamo il procedimento generico da seguire per ricavare il raggio di curvatura di una curva $\gamma$ scritta in forma parametrica.
Consideriamo un punto che si sposta lungo la curva $\gamma$: esso avrà una certa velocità il cui modulo si ricava facendo la norma del vettore $\gamma '$:
$$v=||\gamma '||$$
Consideriamo pure il versore tangente alla curva nel punto:
$$\vec{t}=\frac{\gamma '}{||\gamma '||}$$
Possiamo dunque riscrivere $\gamma '$ come segue:
$$\gamma '=v\vec{t}$$
Applichiamo una delle formule di Frenet-Serret (argomento di geometria differenziale) che mette in relazione la derivata del versore tangente e la curvatura $k$:
$$\vec{t'}=kv\vec{n}$$
Per ricavare $k$ calcoliamo il prodotto vettoriale $\gamma '\times\gamma ''$:
$$\gamma '\times\gamma ''=v\vec{t}\times(v'\vec{t}+v\vec{t'})$$
ossia
$$\gamma '\times\gamma ''=vv'\vec{t}\times\vec{t}+v^2\vec{t}\times\vec{t'}$$
Dalla formula di Frenet sopra mensionata ricaviamo:
$$\begin{eqnarray}
\gamma '\times\gamma ''&=&vv'\vec{t}\times\vec{t}+v^2\vec{t}\times kv\vec{n}\\
&=& 0+kv^3\vec{t}\times\vec{n}\end{eqnarray}$$
Passando ai moduli otteniamo:
$$||\gamma '\times\gamma ''||=kv^3||\vec{t}\times\vec{n}||=kv^3$$
da cui si ricava la curvatura $k$:
$$k=\frac{||\gamma '\times\gamma ''||}{v^3}=\frac{||\gamma '\times\gamma ''||}{||\gamma '||^3}$$

Il raggio di curvatura è il reciproco della curvatura:
$$R=\frac{1}{k}=\frac{||\gamma '||^3}{||\gamma '\times\gamma ''||}\qquad (\bigstar)$$

Nel tuo caso avremo, scrivendo la parabola $y=ax^2$ nella forma parametrica
$$\gamma :\begin{cases}
x=t\\
y=at^2\end{cases}$$
o brevemente $\gamma=(t,at^2)$, e calcolando le sue derivate prima e seconda:
$$\begin{eqnarray}
\gamma ' &=& (1,2at)\\
\gamma ''&=& (0,2a)\end{eqnarray}$$
otteniamo che il raggio di curvatura della parabola $y=ax^2$ mediante la $(\bigstar)$ vale:
$$R(t)=\frac{\sqrt{(1+4a^2t^2)^3}}{2a}$$
che riscritta in funzione di $x$ è
$$R(x)=\frac{\sqrt{(1+4a^2x^2)^3}}{2a}$$

Adesso determiniamo il luogo geometrico dei centri dei cerchi osculatori, ossia l'EVOLUTA della parabola facendo riferimento al seguente grafico


Allegato evoluta.png non trovato




Consideriamo la parametrizzazione della parabola mediante la curva $\gamma=(t,at^2)$. Il versore tangente alla parabola nel generico punto $P(t,at^2)$ di $\gamma$ è dato da:
$$\gamma '=(1,2at)$$
L'equazione della retta normale passante per il punto $P$ e per il centro del cerchio osculatore $C_{p,\varepsilon}$ è
$$1(x-t)+2at(y-at^2)=0$$
ossia
$$x+2aty-t-2a^2t^3=0$$
Adesso considerando $\varepsilon > 0$, individuiamo un altro punto $P_{\varepsilon}=(t+\varepsilon,a(t+\varepsilon)^2)$. In maniera analoga al caso precedente, la retta normale passante per $C_{p,\varepsilon}$ e $P_{\varepsilon}$ sarà:
$$1(x-t-\varepsilon)+2a(t+\varepsilon)(y-a(t+\varepsilon)^2)=0$$
ovvero
$$x+2ay(t+\varepsilon)-(t+\varepsilon)-2a^2(t+\varepsilon)^3=0$$
Intersecando le due rette normali
$$\begin{cases}
x+2aty-t-2a^2t^3=0\\
x+2ay(t+\varepsilon)-(t+\varepsilon)-2a^2(t+\varepsilon)^3=0\end{cases}$$
troviamo le coordinate del centro del cerchio osculatore
$$C_{p,\varepsilon}:\begin{cases}
x = -4a^2t^3-6a^2t^2\varepsilon-2a^2t\varepsilon^2\\
y = 3at^2+3at\varepsilon+a\varepsilon^2+\frac{1}{2a}\end{cases}$$
Facendo tendere $\varepsilon$ a 0, il punto $P_{\varepsilon}$ tenderà a $P$ e si otterranno le coordinate del centro $C_p$ del cerchio osculatore al variare di $t$ ossia il luogo geometrico cercato:
$$C_{p,\varepsilon}:\begin{cases}
x = -4a^2t^3\\
y = 3at^2+\frac{1}{2a}\end{cases}$$
Per esprimere tale luogo geometrico in funzione di $x$, basta ricavare $t$ dalla prima equazione del precedente sistema
$$t=-\sqrt[3]{\frac{x}{4a^2}}$$
e sostituirla nella seconda equazione:
$$y = 3a\sqrt[3]{\left (\frac{x}{4a^2}\right )^2}+\frac{1}{2a}$$


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Allegati:
Ringraziano per il messaggio: giocapi

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