funzione iniettiva

4 Anni 8 Mesi fa - 4 Anni 8 Mesi fa #13 da ale
funzione iniettiva è stato creato da ale
Salve e grazie per il vostro tempo.

vorrei sapere, tramite dimostrazione, come mai la funzione $y=\sqrt[2]{x^{2}+1}$ non è iniettiva.

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4 Anni 8 Mesi fa - 4 Anni 8 Mesi fa #14 da Samuel
Risposta da Samuel al topic funzione iniettiva
Ciao ale, ho spostato il tuo post nella categoria corretta.
Una funzione f si dice iniettiva se a valori di x distinti del dominio corrispondono immagini distinte, ossia $$\forall x_1, x_2\in Dom(f), \ x_1\neq x_2\ \Rightarrow\ f(x_1)\neq f(x_2)$$.
La funzione $f(x)=\sqrt{x^2+1}$ non soddisfa la precedente affermazione. Basta prendere $x_1=1$, $x_2=-1$. Si ha che:
$$f(x_1)=f(1)=\sqrt{2},\ \ f(x_2)=f(-1)=\sqrt{2}$$
Avendo ottenuto quindi, che $f(x_1)=f(x_2)=\sqrt{2}$, la funzione non è iniettiva.


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4 Anni 8 Mesi fa - 4 Anni 8 Mesi fa #15 da ale
Risposta da ale al topic funzione iniettiva
Ciao Samuel e grazie

Correggimi se sbaglio per favore. Seguendo quanto riportato nel libro la Matematica a Colori 3, (edizioni Petrini), "per provare che f é iniettiva occorre mostrare che, per ogni $x_{1}$, $x_{2}$, appartenenti al dominio, vale l'implicazione $f(x_{1}) = f(x_{2})$ che implica $x_{1} = x_{2}$"

l'esempio numerico successivo mi dice che la seguente funzione é iniettiva perché

$y = \frac{1}{2}x+3$

$\frac{1}{2}x_{1}+3= \frac{1}{2}x_{2}+3$

$\frac{1}{2}x_{1}= \frac{1}{2}x_{2}$

$x_{1}= x_{2}$

quindi ritornando alla funzione $y=\sqrt[2]{x^{2}+1}$ e "provando" f é iniettiva

$\sqrt[2]{x_{1}^{2}+1}=\sqrt[2]{x_{2}^{2}+1}$

$x_{1}^{2}+1=x_{2}^{2}+1$

$x_{1}^{2}=x_{2}^{2}$

e facendo radice quadrata si ottiene
$_{+}^{-}\textrm{x1} = _{+}^{-}\textrm{x2}$

ovvero non si prova che

$x_{1} = x_{2}$

da questo si evince che la funzione non è iniettiva

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4 Anni 8 Mesi fa - 4 Anni 8 Mesi fa #16 da Samuel
Risposta da Samuel al topic funzione iniettiva
Si è corretto. La definizione di funzione iniettiva riportata nel tuo libro è equivalente a quella che ti ho scritto io. Ciao ;)


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