Ciao valen, e benvenuta nel nostro forum.
Per prima cosa è importante saper disegnare ciò che il testo dice (figura qui sotto)
Sapendo che $CD=HB$, dobbiamo dimostrare che
$AD^2+CD^2=BD^2-CD\cdot CH$
Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $ADB$ si ha che:
$BD^2=AD^2+AB^2$
Applicando il 1° teorema di Euclide al triangolo rettangolo $ABC$ si ha che:
$AB^2=HB\cdot BC$
dove $BC$ è l'ipotenusa e $HB$ è la proiezione del cateto $AB$ sull'ipotenusa $BC$.
Osservando che $HB=CD$ e $BC=CH+HB=CH+CD$, possiamo riscrivere l'ultima espressione nel seguente modo:
$AB^2=CD(CH+CD)\ \Rightarrow\ \ AB^2=CD\cdot CH+CD^2$
Sostituendo $AB$ in $BD^2=AD^2+AB^2$ otteniamo quanto richiesto:
$BD^2=AD^2+CD\cdot CH+CD^2$
da cui
$BD^2-CD\cdot CH=AD^2+CD^2$