APPLICAZIONE TEOREMA DI EUCLIDE E PITAGORA

Ciao valen, e benvenuta nel nostro forum.
Per prima cosa è importante saper disegnare ciò che il testo dice (figura qui sotto)

Sapendo che $CD=HB$, dobbiamo dimostrare che

$AD^2+CD^2=BD^2-CD\cdot CH$

Applicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo $ADB$ si ha che:

$BD^2=AD^2+AB^2$

Applicando il 1° teorema di Euclide al triangolo rettangolo $ABC$ si ha che:

$AB^2=HB\cdot BC$

dove $BC$ è l'ipotenusa e $HB$ è la proiezione del cateto $AB$ sull'ipotenusa $BC$.
Osservando che $HB=CD$ e $BC=CH+HB=CH+CD$, possiamo riscrivere l'ultima espressione nel seguente modo:

$AB^2=CD(CH+CD)\ \Rightarrow\ \ AB^2=CD\cdot CH+CD^2$

Sostituendo $AB$ in $BD^2=AD^2+AB^2$ otteniamo quanto richiesto:

$BD^2=AD^2+CD\cdot CH+CD^2$

da cui

$BD^2-CD\cdot CH=AD^2+CD^2$