immagine funzione: equazione superiore al secondo

Ciao a tutti,

ho le seguenti funzioni e devo trovare l'immagine

$\frac{x^{4}}{x^{2}+2}= y$

$x^{4} -4x^{2}-y=0$

vorrei quindi cortesemente chiedere se il ragionamento per risolverle sono corretti. Per favore correggetemi senza problemi se sbaglio, grazie.

1- Funzione

$\frac{x^{4}}{x^{2}+2}= y$

L'immagine di una funzione è costituita dai valori di y per cui la seguente equazione nell'incognita x ha almeno una soluzione reale (= si immagina che x sia l'incognita e y un parametro)

$x^{4}-yx^{2}-2y=0$

sostituiamo $x^{2}=t$ e quindi $x^{4}=t^{2}$

$t^{2}-yt-2y=0$

affinché l'equazione (nell'incognita x) $x^{4}-yx^{2}-2y=0$ abbia soluzioni reali, l'equazione di secondo grado $t^{2}-yt-2y=0$ deve avere soluzioni reali di cui almeno una non negativa (perché $x^{2} = t$). L'equazione $t^{2}-yt-2y=0$ ha soluzioni reali quando il suo discriminante è maggiore o uguale a zero.

$\Delta = b^{2} -4ac$

ovvero

$\Delta = b^{2} -4ac = \left (-y \right )^{2} - 4 * -2y = y^{2}+8y$

imponiamo il discriminate maggiore o uguale a uno per determinare per quali valori di y l'equazione $t^{2}-yt-2y=0$ ha soluzioni reali.

$y^{2}+8y\geq 0$

calcoliamo il discriminate dell'equazione associata $y^{2}+8y = 0$ in cui valore è maggiore di zero. Ovvero la disequazione $y^{2}+8y\geq 0$ è verificata in

$y \leq y_{1}$ oppure $y \geq y_{2}$ con $y_{1} < y_{2}$

calcoliamo i valori di y nell'equazione associata (= equazione spuria)

$y(y+8 )=0$

che ha come risultato

$y_{1} = -8$ e $y_{2}=0$

quindi la disequazione $y^{2}+8y\geq 0$ è verificata quando

$y \leq-8$ oppure $y \geq 0$

quando la disequazione $y^{2}+8y\geq 0$ è verificata (maggiore o uguale a zero), l'equazione $t^{2}-yt-2y=0$ ha soluzioni reali (perché il suo discriminante è maggiore o uguale di zero). Ma essendo $x^{2} = t$ devo prendere solo valori positivi u uguali a zero di y (perché non posso fare la radice positiva di un numero negativo), quindi $y \geq 0$ e quindi l'immagine della funzione è

$I(f) = [0,Inf]$

2-Funzione

$x^{4} -4x^{2}-y=0$

sostituiamo $x^{2}=t$ e quindi $x^{4}=t^{2}$

$t^{2} -4t-y=0$

affinché l'equazione (nell'incognita x) $x^{4} -4x^{2}-y=0$ abbia soluzioni reali, l'equazione di secondo grado $t^{2} -4t-y=0$ deve avere soluzioni reali di cui almeno una non negativa. L'equazione $t^{2} -4t-y=0$ ha soluzioni reali quando il suo discriminante è maggiore o uguale a zero.

$\Delta = b^{2} -4ac = \left (-4 \right )^{2} - 4 * -y = 16+4y$

imponiamo il discriminate maggiore o uguale a uno per determinare per quali valori di y l'equazione $t^{2} -4t-y=0$ ha soluzioni reali di cui almeno una non negativa.

$16+4y\geq 0$

da cui

$y\geq - 4$

Quando y ha valori maggiori o uguali a zero l'equazione $t^{2} -4t-y=0$ ha soluzioni reali e di conseguenza anche l'equazione (nell'incognita x) $x^{4}-yx^{2}-2y=0$ ha soluzioni reali