Probabilità di una distribuzione di frequenza

3 Anni 4 Mesi fa - 3 Anni 2 Mesi fa #33 da gianluca30
In un campione casuale di 150 studenti iscritti ad un dato corso di laurea universitario e prossimi alla laurea, se ne osservano 30 con voto medio degli esami sostenuti almeno pari a 28. Determinare il livello di significatività effettivo (p-value) del test volto a verificare se, nella popolazione di riferimento, la corrispondente proporzione di studenti con voto medio almeno pari a 28 possa ritenersi pari al 18% o più elevata.

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3 Anni 4 Mesi fa #35 da Samuel
Ciao gianluca30 e benvenuto nel mio forum.
Per rispondere alla domanda a) devi calcolare le frequenze relative di persone con 0,1,2,3,4 cellulari ossia, indicando con $X$ il numero di cellulari posseduti, le probabilità:
$\begin{eqnarray*}
P(X=0) &=& \frac{1+4}{30}=0.17\\
P(X=1) &=& \frac{4+3}{30}=0.23\\
P(X=2) &=& \frac{4+1}{30}=0.17\\
P(X=3) &=& \frac{5+1}{30}=0.2\\
P(X=4) &=& \frac{6+1}{30}=0.23\end{eqnarray*}$

La probabilità che la prima famiglia estratta abbia almeno un cellulare è
$$P(X\geq 1)=1-P(X < 1)=1-P(X=0)=1-0.17=0.83$$

La probabilità che la seconda famiglia estratta abbia almeno un cellulare è analoga alla precedente nonostante l'estrazione avviene senza ripetizione (o senza reimmissione). Infatti, la prima estrazione di una famiglia con almeno 1 cellulare è indipendente dalla seconda estrazione di una famiglia con almeno 1 cellulare. Dunque la probabilità richiesta è:

$$0.83\cdot 0.83=0.6889$$

Svolgiamo il punto b):
indichiamo con $X_i$ la i-esima famiglia estratta è del sud e con $\overline{X}_i$ l'evento contrario, ossia la i-esima famiglia estratta è del nord. Sapendo che il totale della famiglie del nord è 20 e il totale delle famiglie del sud è 10, utilizzando la probabilità condizionata otteniamo:
$\begin{eqnarray*}
P(X_1\cap\overline{X}_2)&=&P(\overline{X}_2|X_1)\cdot P(X_1)=\frac{20}{29}\cdot\frac{10}{30}=0.2299\\
P(\overline{X}_1\cap X_2)&=&P(X_2|\overline{X}_1)\cdot P(\overline{X}_1)=\frac{10}{29}\cdot\frac{20}{30}=0.2299\end{eqnarray*}$

La probabilità richiesta è data dalla somma delle due probabilità calcolate:

$$0.2299+0.2299=0.4598$$

Spero sia stato chiaro ;)

Ciao,

Sam


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Ringraziano per il messaggio: gianluca30

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