Devianza spiegata e test significatività modello di regressione semplice

3 Anni 11 Mesi fa - 3 Anni 11 Mesi fa #63 da gianluca30
Per una coppia di variabili X e Y, rilevate su un campione di 25 unità, si sa che l'equazione della retta stimata con il metodo dei minimi quadrati risulta $Y^* = 10 + 2X$ e che Var (X + Y) = 244, mentre Var (X – Y) = 84.
Dopo aver determinato Var(X), Var(Y) e Cov(X,Y), misurare la devianza spiegata dalla retta ai dati e valutare la significatività della relazione stimata al livello $\alpha=0,01$

Risultati:

var(x) = 20 var(y) = 144 cov(x,y) = 40 dev(sp) = 2000

sistema di ipotesi da verificare:

$\begin{cases}
H0 :& ρ_{xy}=0\\
H1:& ρ_{xy}\neq 0\end{cases}$

valore critico: $t_{23,0.005}=2,8073$

valore campionario della statistica-test: 5,362; si accetta H1

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3 Anni 11 Mesi fa - 3 Anni 10 Mesi fa #64 da Samuel
Ciao gianluca30, innanzitutto ti invito a usare il linguaggio latex o seguire la guida che trovi sotto il messaggio quando devi scrivere delle formule matematiche per chiari motivi di comprensione del testo.
Andiamo alla risoluzione:
Ricordiamo che il coefficiente $b$ di un modello di regressione $Y^*=a+bX$ è dato dalla formula:
$$b=\frac{COV(X,Y)}{VAR(X)}$$
da cui otteniamo
$$COV(X,Y)=bVAR(X).$$
Inoltre, per le proprietà della varianza si ha che:
$$\begin{eqnarray*}
VAR(X+Y) &=& VAR(X)+VAR(Y)+2COV(X+Y)=5VAR(X)+VAR(Y)\\
VAR(X-Y) &=& VAR(X)+VAR(Y)-2COV(X+Y)=-3VAR(X)+VAR(Y)\end{eqnarray*}$$

Imponendo $VAR(X+Y)=244$ e $VAR(X-Y)=84$ nelle precedenti due espressioni, ti ricavi $VAR(X)$ e $VAR(Y)$. Di conseguenza ottieni pure la covarianza.

Vediamo adesso come trovare la devianza spiegata.
In un modello di regressione lineare semplice, il coefficiente di correlazione al quadrato coincide con il coefficiente di determinazione al quadrato, ossia:
$$\rho_{xy}^2=R^2$$
dove
$$\begin{eqnarray*}
\rho_{xy} &=& \frac{COV(X,Y)}{\sqrt{VAR(X)\cdot VAR(Y)}}\\
R^2 &=& \frac{varianza\ spiegata}{varianza\ totale}\end{eqnarray*}$$
Imponendo l'uguaglianza $\rho_{xy}^2=R^2$ puoi trovare la varianza spiegata e di conseguenza la devianza spiegata (il numeratore della varianza):
$$devianza\ spiegata\ =\ varianza\ spiegata\ \cdot\ 25$$

Test di ipotesi:
La statistica test per un test sul coefficiente di correlazione di un modello di regressione lineare semplice è dato dalla formula:
$$T=\frac{\rho_{xy}}{\sqrt{1-\rho_{xy}^2}}\sqrt{n-2}$$
dove $n$ è il campione.
Il valore $t$ critico lo calcoli utilizzando le tavole della distribuzione di Student.
L'esito del test (bilaterale) è: si rifiuta l'ipotesi nulla se la statistica test $T$ risulta maggiore del valore critico $t$.


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Ringraziano per il messaggio: gianluca30

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3 Anni 10 Mesi fa #74 da Samuel
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