Convergenza T di Student a una normale

Ciao ADF97.
Per rispondere alla tua domanda sono necessari alcuni risultati preliminari che possono essere a sua volta dimostrati:

1. Se $X\sim T(\mu,\sigma^2,n)$ allora
   $$X=\mu+\sigma Z$$
   dove $Z$ è una variabile casuale avente distribuzione t Student standard


2. Se $X$ è una variabile casuale con distribuzione t Student standard, allora può essere scritta come rapporto tra una variabile $Y$ normale standard e la radice quadrata di una variabile $Z$ con distribuzione Gamma:
   $$X=\frac{Y}{\sqrt{Z}}$$
   Inoltre, $Y$ e $Z$ sono indipendenti.
   Equivalentemente possiamo scrivere
   $$X=\frac{Y}{\sqrt{\chi_n^2/n}}$$
   dove $\chi_n^2$ è una variabile casuale avente distribuzione Chi-quadro con $n$ gradi di libertà.


3. Una variabile $X$ ha distribuzione Chi-Quadro se può essere scritta come somma dei quadrati di $n$ variabili $Y_i$ normali standard e indipendenti tra loro:
   $$X=Y_i^2+\dots +Y_n^2$$
4. Teorema di Slutsky: Siano $X_n$ e $Y_n$ due sequenze di vettori di variabili casuali tali che $X_n$ converge in distribuzione alla variabile $X$ e $Y_n$ converge in probabilità alla costante $c$. Denotata con $g(x,y)$ una funzione continua, si ha che $g(X_n,Y_n)$ converge in distribuzione a $g(X,c)$.

Adesso siamo pronti per dimostrare che una variabile con distribuzione t di Student avente media $\mu$, varianza $\sigma^2$ e $n$ gradi di libertà converge in distribuzione a una variabile avente distribuzione normale con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ al tendere di $n$ all'infinito.
Sia dunque $X_n$ una variabile con distribuzione t di student. Per i punti 1) e 2), possiamo riscriverla come
$$X_n=\mu+\sigma\frac{Y}{\sqrt{\chi_n^2/n}}$$
dove $Y$ è una variabile casuale con distribuzione normale standard e $\chi_n^2$ è una variabile casuale avente distribuzione Chi-quadro con $n$ gradi di libertà e indipendente da $Y$.
Inoltre, per la 3) $\chi_n^2$ può essere scritta come
$$\chi_n^2=\sum_{i=1}^nZ_i^2$$
dove $Z_1,\dots , Z_n$ sono variabili casuali aventi distribuzione normale standard e indipendenti tra loro.
Grazie alla Legge dei Grandi Numeri , il rapporto
$$\frac{\chi_n^2}{n}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nZ_i^2$$
converge in probabilità al valore atteso $E(Z_i^2)=1$.
Di conseguenza, per il teorema al punto 4), $X_n$ converge in distribuzione alla variabile
$$X=\mu+\sigma Y$$
ossia, ad una variabile casuale normale standard con media $\mu$ e varianza $\sigma^2$ (si verifica facilmente mediante le proprietà del valore atteso e della varianza ).