Funzione di ripartizione v.a. discreta

2 Anni 10 Mesi fa - 2 Anni 10 Mesi fa #133 da m.iami
Salve,
vorrei una mano per risolvere questo esercizio:
Dato il numero aleatorio

$$ X= 2 \left | A \right | - \left | A^{c}\cap B \right | + 3 \left | A\cap B\cap C^{c} \right | $$
con
C ⊂ A ∩ B
P(A) = P(B ) =0.6
P(A ∩ B ) = 0.3
P(C) = 0.2.
Calcolare E(X) e $ P(X \leqslant 1) $

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2 Anni 10 Mesi fa - 2 Anni 10 Mesi fa #134 da Samuel
Ciao m.iami e benvenuta nel mio forum.
Per rispondere alla tua domanda ho bisogno di alcuni chiarimenti del testo.
1) Il numero aleatorio $X$ è discreto?
2) Con $|A|$ indichi la cardinalità di $A$?
3) Nel testo non ci sono altri dati, ad esempio quali valori può assumere $X$ o gli altri insiemi A,B,C?


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Ringraziano per il messaggio: m.iami

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2 Anni 10 Mesi fa #135 da m.iami
Grazie.
1) Il numero aleatorio X è discreto? SI
2) Con |A| indichi la cardinalità di A? No, |A| è l'indicatore dell'evento A che può assumere 1 se l'evento è vero, 0 se è falso.
3) Nel testo non ci sono altri dati, ad esempio quali valori può assumere X o gli altri insiemi A,B,C? Non ci sono altri dati nell'esercizio.

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2 Anni 10 Mesi fa - 2 Anni 10 Mesi fa #138 da Samuel
Eccomi!
Per prima cosa disegniamo lo spazio campione tramite i diagrammi di Venn:

Allegato spazioCampione.png non trovato



Successivamente stabiliamo quali valori può assumere il numero aleatorio in questione. Ho riassunto tutti i possibili valori nella tabella seguente

Allegato spazioC-2.png non trovato



Osserviamo che ho escluso:
  • la seconda e la quinta riga perchè se $A$ non è vero nemmeno $A\cap B\cap C^c$ può essere vero
  • la penultima e l'ultima riga perchè se $A$ è vero $A^c\cap B$ non può essere vero
Dunque $X\in \{0,-1,2,5\}$.
Osserviamo inoltre che:
$$P(A\cup B )=P(A)+P(B )-P(a\cap B )=0.9$$
Adesso calcoliamo le singole probabilità aiutandoci con i diagrammi di Venn e con la tabella sopra rappresentati:
$$\begin{eqnarray*}
P(X=0) &=& P(A^c\cap B^c)=1-P(A\cup B )=1-0.9=0.1\\
P(X=-1) &=& P(A^c\cap B )=P(B )-P(A\cap B )=0.6-0.3=0.3\\
P(X=2) &=& P(A\cap C)=P(C)=0.2\\
P(X=5 )&=& P(A\cap C^c)=P(A\cap B )-P(C)=0.6-0.2=0.4\end{eqnarray*}$$
Risulta cosi facile calcolare $E(X)$ mediante la formula del valore atteso per v.a. discrete :
$$E(X)=0\cdot P(X=0)-1\cdot P(X=-1)+2\cdot P(X=2)+5\cdot P(X=5)=2.1$$
e $P(X\leq 1)$ mediante la definizione di funzione di ripartizione per v.a. discrete :
$$P(X\leq 1)=P(X=-1)+P(X=0)=0.4$$


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2 Anni 10 Mesi fa #139 da m.iami
Grazie!!!!

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