Test chi quadro adattamento distribuzione poisson

3 Anni 6 Mesi fa - 3 Anni 6 Mesi fa #144 da gianluca30
in uno studio sulla presenza di esemplari di un certo micro-organismo nell'acqua, sono stati prelevati e analizzati 50 campioni ottenendo la seguente distribuzione

esemplari 0___1____2____3____>3
freq._____6__25___15____3____1

stabilire se le informazioni ottenute dal campione confermano per la popolazione la distribuzione di Poisson ad un livello di significatività del 5%. Il procedimento lo so fare, calcolo la media "lambda", poi vado a vedere le tavole della distribuzione di Poisson per quel lambda i valori teorici per X=0, 1, 2, 3 e 4 e me le segno. Quindi moltiplico N per quei valori ottenendo le frequenze attese, facendo attenzione che l'ultima frequenza la calcolo per differenza tra 50 e la somma di quelle precedenti. Fatto questo, calcolo il Chi quadrato con la sua classica formula e confrontandolo col valore critico (df = k - s - 1, cioè 5 classi - 1 parametro da stimare -1 = 2 gradi di libertà, con 0.05 in colonna risulta 7.82).
Il chi quadrato calcolato viene maggiore del critico, dunque test significativo, cioè rifiuto H0.

Una sola domanda: l'ultima classe, che risulta aperta, dato che l'ampiezza di ogni classe è 1, io ho messo 4 come valore centrale, visto che comunque la frequenza osservata è solamente 1 e non mi pare che cambi niente ai fini del calcolo. ho fatto bene ?

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3 Anni 6 Mesi fa - 3 Anni 6 Mesi fa #146 da Samuel
La variabile in questione è discreta e quindi non ci sono valori centrali da considerare.
Inoltre, il raggruppamento di una o più classi non dipende dal valore della frequenza osservata ma da quella teorica.
Per applicare correttamente il test occorre che nessuna frequenza teorica sia minore di 5.
Quindi, se dal calcolo risulta che qualche frequenza teorica è minore di 5, per calcolare correttamente il chi quadro bisogna raggruppare due o più modalità.


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3 Anni 6 Mesi fa #147 da gianluca30
Proprio quella della classe "aperta" >3 , ha frequenza attesa di 2.77 e la freq. osservata di 1. Io ho messo 4 nel senso che gli ho assegnato un valore preciso, altrimenti non potevo calcolare la media. E come dovrei raggrupparla se non rientra nelle altre classi ?

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3 Anni 6 Mesi fa - 3 Anni 6 Mesi fa #148 da Samuel
Come hai ben detto la classe aperta >3 la puoi trasformare in 4. Le frequenze risultano le seguenti:

Allegato adattPoisson1.png non trovato



Adesso però, dato che l'ultima frequenza teorica è minore di 5, devi accorpare l'ultima classe con la penultima facendo la somma sia delle frequenze attese che di quelle osservate:

Allegato adattPoisson2-2.png non trovato



Dunque i gradi di libertà sono 4-1-1=2 e il valore critico di chi-quadro per $\alpha=0.05$ è
$$\chi_{0.05,2}^2=5.99$$
Poichè $\chi^2=9.1571 > \chi_{0.05,2}^2=5.99$ rifiuto l'ipotesi nulla ossia posso dire che non c'è sufficiente evidenza del fatto che i dati si adattano alla distribuzione di Poisson.


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3 Anni 6 Mesi fa #149 da gianluca30
Ok, ho capito. Però a me le frequenze attese vengono leggermente diverse. Perchè ?

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3 Anni 6 Mesi fa - 3 Anni 6 Mesi fa #150 da Samuel
Forse perchè approssimi la probabilità della Poisson mediante l'utilizzo delle tavole. Se fai i calcoli in Excel ti verranno esattamente quelli che ti ho postato. E' chiaro che in un esame questa cosa ha poco peso. In ogni caso la media a me risulta $\lambda=1.3600$.


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