Esercizio concorso Banca D'Italia: Ripartizione o distribuzione congiunta?

1 Anno 9 Mesi fa - 1 Anno 9 Mesi fa #179 da Alecrema
Salve, ho un dubbio che è quasi certezza:

Una banca ha concesso prestiti a tre clienti $C_1$, $C_2$, $C_3$ e desidera stringere accordi di tipo assicurativo
per cautelarsi contro l' eventualità di non ricevere i pagamenti dovuti (evento di insolvenza) da parte dei tre clienti.
Viene individuata un'assicurazione che propone una polizza che risarcisce la banca in caso di insolvenza anche di uno solo dei tre clienti.
Le tre variabili casuali indipendenti $T_1$, $T_2$ e $T_3$ rappresentano la durata di vita dei contratti (fino all'insolvenza) dei tre clienti, con funzione di densità:
$$f_{T_i}(t;\lambda_i)=\lambda_i e^{-\lambda_it},\ i=1,2,3$$
-ricavare la distribuzione di probabilità della durata di vita della polizza.

Io ero un po’ indeciso ed ho calcolato la ripartizione perché se la polizza ripaga la banca al fallimento anche di uno solo allora mi basta sapere la probabilità fino ad un certo limite (P(X<=x) ) ma ho Il fortissimo dubbio che avrei dovuto calcolare la distribuzione congiunta come somma delle tre vv.aa. (usando la funzione generatrice è molto più semplice che non con l’integrale dì convoluzione), potreste chiarirmi questo dubbio? Grazie

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1 Anno 9 Mesi fa - 1 Anno 9 Mesi fa #180 da Samuel
Ciao Alecrema e grazie per esserti registrato.
La chiave del problema sta nel fatto che la polizza stipulata é unica per tutti e tre i contratti.
Questo vuol dire che la polizza assicurativa cesserà non appena tutti e tre i clienti non facessero fronte alla rata del prestito.
Indicando con X la variabile aleatoria che descrive la durata di vita della polizza, avremo:
$$X=max\{ T_1, T_2, T_3 \}$$

Ossia, la durata della polizza equivale alla durata del contratto maggiore tra i tre considerati.
Quindi, si tratta di un numero aleatorio e non di un vettore, per cui bisogna calcolare la funzione di ripartizione di X.


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1 Anno 9 Mesi fa #181 da Alecrema
Grazie della risposta; il punto era secondo me proprio capire il ruolo della polizza che ripaga la banca anche alla prima insolvenza (infatti credo tu abbia confuso il testo, dovrebbe essere il minimo tra le tre vv.aa., sbaglio?) e per questo ho calcolato la ripartizione, il dubbio mi viene perché :
-l’esercizio chiedeva di ricavare la distribuzione di probabilità ( che a mio modo di vedere, scritta così, è un po’ ambigua perchè potrebbe intendere la funzione di distribuzione di probabilità (la ripartizione) oppure in parole povere la densità;
-un mio collega ha calcolato la somma delle tre vv.aa. con le fgm ottenendo una gamma di parametri (3,lambda);
-i parametri delle densità erano tutti indicizzati.
Se serve posto l’esercizio, parliamo di un quesito dell’ultimo concorso in banca d’Italia.

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1 Anno 9 Mesi fa - 1 Anno 9 Mesi fa #182 da Samuel
Si, il testo doveva essere scritto in maniera più chiara però credo ancora che bisogna considerare il max delle tre durate visto che, dal testo si dedurrebbe che la polizza é unica per tutti e tre i contratti e dovrebbe estinguersi solo dopo che tutti e tre i contratti sono stati estinti. Considerare il min é come dire che la polizza scade non appena uno tra i tre debitori non riesce più a pagare la rata e quindi gli altri due contratti resterebbero scoperti.
Fare la somma delle tre v.a. non é nemmeno corretto perché significherebbe dire che la durata della polizza é la somma delle durate dei contratti, il che non é vero se, per esempio, questi contratti vengono stipulati simultaneamente.
Inoltre, calcolare la distribuzione di probabilità vuol dire trovare sia la funzione di ripartizione che quella di densità. Tra l’altro, non appena trovi una, puoi trovare anche l’altra senza troppi passaggi.


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1 Anno 9 Mesi fa #183 da Alecrema
Pensando a quanto scrivi credo sia giusto proprio pensare ad una polizza che copre la banca al di là delle durate e anche a fronte di una sola insolvenza ed è giusta l’affermazione per la quale la polizza non può durare il minimo tra le tre vv.aa. proprio perché le altre sue sarebbero scoperte; inoltre la considerazione che fai sulla somma è un po’ quella che ho fatto io, mentre per quanto riguarda il significato di distribuzione di probabilità è ovviamente vero quello che dici tant’è che credo non possa essere considerato errore (nell’ambito nel concorso) ricavare l’una o l’altra.
A questo punto spero bene perché se così fosse sono leggermente più ottimista sul passaggio all’orale.

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1 Anno 9 Mesi fa - 1 Anno 9 Mesi fa #184 da Samuel
Capita anche ai professori di statistica di scrivere testi di esercizi in maniera ambigua. In tal caso, ti consiglio sempre di chiedere ulteriori spiegazioni per essere sicuro che la tua interpretazione del testo è corretta.

In bocca al lupo ;)


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