In questa lezione ti insegno a risolvere disequazioni di grado superiore al secondo svolgendo diversi esempi ed esercizi. In una lezione precedente ti ho parlato di come risolvere le equazioni di grado superiore al secondo e ti ho fatto vedere che per far ciò bisognava scomporre il polinomio a primo membro mediante le tecniche di fattorizzazione dei polinomi. Questo passaggio preliminare bisogna farlo anche nel caso di disequazioni con grado superiore al secondo.
I passaggi da seguire per risolvere una qualsiasi disequazione di grado superiore al secondo sono
- semplificare (se necessario) la disequazione (generalmente portando tutti i termini al primo membro in modo da ottenere un polinomio in forma normale);
- fattorizzare (se necessario) il polinomio di grado superiore al secondo come prodotto di polinomi di primo o di secondo grado;
- studiare il segno di ciascun fattore separatamente (ovvero risolvere disequazioni di primo o secondo grado);
- nel caso in cui i fattori trovati siano più di uno, fare il prodotto dei segni tra le soluzioni trovare al punto 3.
Per una maggiore comprensione dell'argomento, classifico questi tipi di disequazioni in diverse categorie a seconda del procedimento risolutivo da adottare.
Però, prima di mostrarti alcuni esercizi sulle disequazioni di grado superiore al secondo, ti faccio osservare alcune semplice regole sulle potenze di polinomi che si possono sempre adottare e che ti semplificano i ragionamenti. A questo scopo indico con $P(x)$ un generico polinomio con grado qualsiasi:
- Una disequazione del tipo $P(x)^n$ con esponente $n$ positivo è uguale a zero quando è uguale a zero la base. In formule: $$P(x)^n=0,\ n>0\ \Leftrightarrow\ P(x)=0\quad (\large\star)$$
- Una disequazione del tipo $P(x)^n$ con esponente $n$ positivo e pari non assume mai segno negativo o equivalentemente è sempre maggiore o uguale a zero. In formule: $$P(x)^n < 0,\ n>0\ \mbox{n pari}\ \Leftrightarrow\ \not\exists x\in\mathbb{R}$$ equivalentemente $$P(x)^n\geq 0,\ n>0\ \mbox{n pari}\ \Leftrightarrow\ \forall x\in\mathbb{R}$$
- Una disequazione del tipo $P(x)^n$ con esponente $n$ positivo e dispari è positiva quando è positiva la base e negativa quando è negativa la base: $$P(x)^n>0,\ n>0\ \mbox{n dispari}\ \Leftrightarrow\ P(x)>0$$ e $$P(x)^n < 0,\ n>0\ \mbox{n dispari} \Leftrightarrow\ P(x) < 0$$
Disequazioni con potenze di binomi
In questo paragrafo risolvo disequazioni in cui compaiono binomi elevati a esponenti pari o dispari
$(1-x)^5< 0$
Essendo l'esponente dispari, per la proprietà 3 si ha: $$(1-x)^5 < 0\ \Leftrightarrow\ 1-x < 0\ \Leftrightarrow\ x>1$$
$(x+4)^{12}\leq 0$
Per la proprietà 2, una potenza con esponente pari non è mai negativa ma può essere $\leq 0$ (in particolare =0). Si ottiene: $$(x+4)^{12}\leq 0\ \Leftrightarrow\ x+4=0\ \Leftrightarrow\ x=-4$$
Disequazioni con prodotto di polinomi
Le disequazioni di grado superiore al secondo possono presentarsi anche come prodotto tra polinomi di diverso grado. In tal caso bisogna eseguire il prodotto dei segni proprio come abbiamo fatto con le disequazioni fratte.
Risolviamo la disequazione $x^3(x-5)^8>0$
Studiamo separatamente il segno dei due polinomi sfruttando le proprietà sopra enunciate: $$\begin{array}{l} x^3>0\ \rightarrow\ x>0\\ (x-5)^8>0\ \rightarrow\ x-5\neq 0\ \rightarrow\ x\neq 5\end{array}$$
Mettendo a prodotto dei segni le due soluzioni parziali (vedi immagine qui sotto), otteniamo la soluzione definitiva $x>0, \ x\neq 5$
Disequazioni di grado superiore al secondo con costante al secondo membro
Adesso vediamo come risolvere disequazioni di grado superiore al secondo in cui compare una costante al secondo membro. Vediamo qualche esempio.
$(2x+1)^3 > 8$
Nel caso in cui l'esponente della potenza al primo membro è dispari, possiamo applicare la radice cubica a entrambi i membri e risolvere la disequazione: $$\begin{array}{l} \sqrt[3]{(2x+1)^3} >\sqrt[3]{8}\\ 2x+1 > 2\\ 2x > 1\\ x > \frac{1}{2}\end{array}$$
$(x-1)^6\leq 1$
Prestare particolare attenzione a questa disequazione! Non possiamo risolvere facendo la radice sesta ad ambo i membri!
In questo caso, conviene portare la costante al primo membro e notare che otteniamo il prodotto notevole differenza di quadrati che può essere scomposto: $$\begin{array}{l} (x-1)^6-1\leq 0\\ [(x-1)^3]^2-1^2\leq 0\\ \color{red}{[(x-1)^3+1]}\cdot \color{green}{[(x-1)^3-1]}\leq 0\end{array}$$
A questo punto studiamo il segno di ciascuna parentesi. Dalla parentesi in rosso abbiamo: $$\begin{array}{l} (x-1)^3+1 \geq 0\\ (x-1)^3\geq -1\\ \sqrt[3]{(x-1)^3} \geq\sqrt[3]{-1}\\ x-1 \geq -1\\ x\geq 0\end{array}$$
Dalla parentesi in verde invece otteniamo: $$\begin{array}{l} (x-1)^3-1 \geq 0\\ (x-1)^3\geq 1\\ \sqrt[3]{(x-1)^3} \geq\sqrt[3]{1}\\ x-1 \geq 1\\ x \geq 2\end{array}$$
Per finire eseguiamo il prodotto dei segni tra $x\geq 0$ e $x\geq 2$ (come fatto prima) e prendendo gli intervalli con il segno meno (per via del verso $\leq$ della disequazione di partenza) e otteniamo la soluzione definitiva $$0\leq x\leq 2$$
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