Disequazioni di grado superiore al secondo

In questa lezione abbiamo parlato di come risolvere le equazioni di grado superiore al secondo e abbiamo visto che per far ciò bisognava scomporre il polinomio a primo membro mediante le tecniche di fattorizzazione a disposizione. Questo passaggio preliminare bisogna farlo anche nel caso di disequazioni con grado superiore al primo.

I passaggi da seguire per risolvere una qualsiasi disequazione di grado superiore al secondo sono

  1. semplificare (se necessario) la disequazione (generalmente portando tutti i termini al primo membro in modo da ottenere un polinomio in forma normale);
  2. fattorizzare (se necessario) il polinomio di grado superiore al secondo come prodotto di polinomi di primo o di secondo grado;
  3. studiare il segno di ciascun fattore separatamente (ovvero risolvere disequazioni di primo o secondo grado);
  4. nel caso in cui i fattori trovati siano più di uno, fare il prodotto dei segni tra le soluzioni trovare al punto 3.

Per una maggiore comprensione dell'argomento, classificheremo questi tipi di disequazioni in diverse categorie a seconda del procedimento risolutivo da adottare.

Studio del segno di potenze di binomi

Supponiamo di dover risolvere le seguenti disequazioni:

  1. $\large{(x-1)^8>0}$
  2. $\large{(1-x)^5 < 0}$
  3. $\large{(3x+1)^6 < 0}$
  4. $\large{(14-x)^{20}\geq 0}$
  5. $\large{(x+4)^{12}\leq 0}$

Prima di procedere facciamo osservare alcune regole di base sulle potenze:

  1. una potenza $A(x)^n$ ad esponente positivo ($n>0$) è uguale a zero quando è uguale a zero la base. In formule: $$A(x)^n=0,\ n>0\ \Leftrightarrow\ A(x)=0\quad (\bigstar)$$
  2. Una potenza $A(x)^n$ ad esponente positivo pari ($n>0$ pari) non è mai negativa o equivalentemente è sempre maggiore o uguale a zero. In formule: $$A(x)^n < 0,\ n>0\ \mbox{n pari}\ \Leftrightarrow\ \nexists x\in\mathbb{R}$$ equivalentemente $$A(x)^n\geq 0,\ n>0\ \mbox{n pari}\ \Leftrightarrow\ \forall x\in\mathbb{R}$$
  3. Una potenza $A(x)^n$ ad esponente positivo dispari ($n>0$ dispari) è positiva quando è positiva la base e negativa quando è negativa la base: $$A(x)^n>0,\ n>0\ \mbox{n dispari}\ \Leftrightarrow\ A(x)>0$$ e $$A(x)^n < 0,\ n>0\ \mbox{n dispari} \Leftrightarrow\ A(x) < 0$$

Ciò premesso, risolviamo le disequazioni sopra scritte.

Disequazione 1

$$(x-1)^8>0$$

Essendo l'esponente pari, la quantità al primo membro è sempre maggiore o uguale a zero per ogni valore di x. Affichè sia strettamente maggiore di zero dobbiamo escludere quei valori tale che $(x-1)^8=0$, ossia (per la proprietà 1): $$(x-1)^8\neq 0\ \Leftrightarrow\ x-1\neq 0\ \Leftrightarrow\ x\neq 1$$

Disequazione 2

$$(1-x)^5 < 0$$

Essendo l'esponente dispari, per la proprietà 3 si ha: $$(1-x)^5 < 0\ \Leftrightarrow\ 1-x < 0\ \Leftrightarrow\ x>1$$

Disequazione 3

$$(3x+1)^6 < 0$$

Per la proprietà 3 si ha tale disequazione è impossibile ($\nexists x\in\mathbb{R}$).

Disequazione 4

$$(14-x)^{20}\geq 0$$

Sempre per la proprietà 3, la disequazione è sempre verificata ($\forall x\in\mathbb{R}$).

Disequazione 5

$$(x+4)^{12}\leq 0$$

Per la proprietà 2, una potenza con esponente pari non è mai negativa ma può essere $\leq 0$ (in particolare =0). Si ottiene: $$(x+4)^{12}\leq 0\ \Leftrightarrow\ x+4=0\ \Leftrightarrow\ x=-4$$

Studio del segno del prodotto di polinomi

Tra le disequazioni di grado superiore al secondo possono presentarsi anche come prodotto tra polinomi di diverso grado. In tal caso bisogna eseguire il prodotto dei segni proprio come abbiamo fatto con le disequazioni fratte.

Esempio

Risolviamo la disequazione $$x^3(x-5)^8>0$$

Studiamo separatamente il segno dei due polinomi sfruttando le proprietà sopra enunciate: $$\begin{array}{l} x^3>0\ \rightarrow\ x>0\\ (x-5)^8>0\ \rightarrow\ x-5\neq 0\ \rightarrow\ x\neq 5\end{array}$$

Mettendo a prodotto dei segni le due soluzioni parziali (vedi immagine qui sotto), otteniamo la soluzione definitiva $x>0, \ x\neq 5$

Studio del segno del prodotto di polinomi

Disequazioni di grado superiore al secondo con costante al secondo membro

Adesso vediamo come risolvere disequazioni di grado superiore al secondo in cui compare una costante al secondo membro. Vediamo qualche esempio.

Esempio

$$(2x+1)^3 > 8$$

Nel caso in cui l'esponente della potenza al primo membro è dispari, possiamo applicare la radice cubica ad entrambi i membri e risolvere la disequazione: $$\begin{array}{l} \sqrt[3]{(2x+1)^3} >\sqrt[3]{8}\\ 2x+1 > 2\\ 2x > 1\\ x > \frac{1}{2}\end{array}$$

Esempio

$$(x-1)^6\leq 1$$

Prestare particolare attenzione a questa disequazione! Non possiamo risolvere facendo la radice sesta ad ambo i membri!

In questo caso, conviene portare la costante al primo membro e notare che otteniamo il prodotto notevole differenza di quadrati che può essere scomposto: $$\begin{array}{l} (x-1)^6-1\leq 0\\ [(x-1)^3]^2-1^2\leq 0\\ {\color{red}{[(x-1)^3+1]}\cdot {\color{green}{[(x-1)^3-1]}\leq 0\end{array}$$

A questo punto studiamo il segno di ciascuna parentesi. Dalla parentesi in rosso abbiamo: $$\begin{array}{l} (x-1)^3+1 \geq 0\\ (x-1)^3\geq -1\\ \sqrt[3]{(x-1)^3} \geq\sqrt[3]{-1}\\ x-1 \geq -1\\ x\geq 0\end{array}$$

Dalla parentesi in verde invece otteniamo: $$\begin{array}{l} (x-1)^3-1 \geq 0\\ (x-1)^3\geq 1\\ \sqrt[3]{(x-1)^3} \geq\sqrt[3]{1}\\ x-1 \geq 1\\ x \geq 2\end{array}$$

Per finire eseguiamo il prodotto dei segni tra $x\geq 0$ e $x\geq 2$ (come fatto prima) e prendendo gli intervalli con il segno meno (per via del verso $\leq$ della disequazione di partenza) e otteniamo la soluzione definitiva $$0\leq x\leq 2$$

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