Equazioni esponenziali

Chiamiamo equazione esponenziale ogni equazione nella quale l'incognita compare nell'esponente di qualche potenza.

In genere per risolvere un'equazione esponenziale si cerca (applicando le proprietà delle potenze) di portarla nella forma:

$$a^{A(x)}=a^{B(x)}$$

per poi uguagliare gli esponenti delle due potenze e risolvere la seguente equazione:

$$A(x)=B(x)$$

Un'equazione del tipo:

$$pa^{2x}+qa^x+r=0$$

si risolve come un'equazione di secondo grado nell'incognita $a^x$, ottenendo così:

$$a^x=\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4pr}}{2p}$$

L'equazione $a^x=b$ è impossibile se il numero $b\le 0$.

Esempio

Risolvere l'equazione $$\frac{3^{2x+1}\cdot 81}{3^{1-x}}=\sqrt{3}$$

Applicando le proprietà delle potenze si perviene all'uguaglianza tra due potenze aventi la stessa base:

$$3^{2x+1}\cdot 3^4:3^{1-x}=3^{\frac{1}{2}}\quad\Rightarrow\quad 3^{2x+1+4-1+x}=3^{\frac{1}{2}}\quad\Rightarrow\quad 3^{3x+4}=3^{\frac{1}{2}}$$

Uguagliando gli esponenti si ottiene:

$$3x+4=\frac{1}{2}$$

e quindi

$$x=-\frac{7}{6}$$

Esempio

Risolvere l'equazione $$5^x+5^{x+1}+3\cdot 5^{x+2}=2025$$

L'equazione può essere scritta nella forma equivalente:

$$5^x+5\cdot 5^x+3\cdot 25\cdot 5^x=2025$$

Raccogliendo $5^x$ dai termini del primo membro si ottiene:

$$5^x(1+5+75)=2025\quad\Rightarrow\quad 5^x=\frac{2025}{81}\quad\Rightarrow\quad 5^x=25\quad\Rightarrow\quad x=2$$

Esempio

Risolvere l'equazione $$3^{x+1}-2\cdot 3^x+3^{x+2}=2^{x-1}$$

L'equazione può essere scritta nella forma equivalente:

$$3\cdot 3^x-2\cdot 3^x+9\cdot 3^x=\frac{2^x}{2}\quad\Rightarrow\quad 3^x(3-2+9)=\frac{2^x}{2}\quad\Rightarrow\quad 10\cdot 3^x=\frac{2^x}{2}$$

Uguagliando i logaritmi decimali dei due membri dell'uguaglianza ed applicando le proprietà dei logaritmi si ottiene poi:

$$\log(10\cdot 3^x)=\log\frac{2^x}{2}\quad\Rightarrow\quad \log 10+x\log 3=x\log 2-\log 2$$

Raggruppiamo (ciò che è possibile) per $x$:

$$x(\log 3-\log 2)=-1-\log 2\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1+\log2}{log 2-\log 3}$$

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