Equazioni logaritmiche

Un'equazione nella quale compare il logaritmo dell'incognita, o di espressioni contenenti l'incognita, viene detta equazione logaritmica.

In genere, per risolvere un'equazione logaritmica si cerca di portarla, applicando le proprietà dei logaritmi, nella forma:

$$\log_a A(x)=\log_a B(x)$$

dove $A(x)$ e $B(x)$ sono due espressioni contenenti l'incognita $x$ che, come sappiamo, vengono denominate argomenti dei logaritmi. Inoltre, tali argomenti devono essere posti maggiore di $0$ per garantire l'esistenza dei logaritmi.

Affichè l'uguaglianza precedente sia soddisfatta, è necessario che sia verificata anche la seguente:

$$A(x)=B(x)$$

Tenendo conto di quanto detto, trovare le soluzioni dell'equazione $\log_a A(x)=\log_a B(x)$ è equivalente a trovare le soluzioni del seguente sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} A(x)>0\\ B(x)>0\\ A(x)=B(x)\end{array}\right.$$

Analogamente, un'equazione del tipo:

$$\log_a A(x)+\log_a B(x)=n\log_a C(x)$$

applicando le proprietà dei logaritmi, risulta equivalente al seguente sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} A(x)>0\\ B(x)>0\\ C(x)>0\\ \log_a [A(x)B(x)]=\log_a [C(x)]^n\end{array}\right.$$

e quindi al sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} A(x)>0\\ B(x)>0\\ C(x)>0\\ A(x)B(x)=[C(x)]^n\end{array}\right.$$

Infine, un'equazione del tipo:

$$p\log_a^2 x+q\log_a x+r=0$$

si risolve come un'equazione di secondo grado nell'incognita $\log_a x$, ottenendo così:

$$\log_a x=\frac{-q\pm\sqrt{q^2-4pr}}{2p}$$

Facciamo alcuni esempi sullo svolgimento di un'equazione logaritmica.

Esempio:

Risolvere l'equazione $$2\log(x-2)=\log(x+5)+\log x$$

I logaritmi contenuti in questa equazione hanno significato solo se alla $x$ vengono attribuiti valori che soddisfano tutte le condizioni del sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} x-2>0\\ x+5>0\\ x>0\end{array}\right.$$

e quindi valori maggiori di $2$. La condizione $x>2$ è perciò il campo di esistenza dei logaritmi presenti nell'equazione data, o, in altre parole, la condizione che debbono soddisfare le soluzioni dell'equazione data.

Applicando ai due membri dell'uguaglianza le proprietà dei logaritmi si ottiene l'equazione:

$$\log(x-2)^2=\log[(x+5)x]$$

e quindi, uguagliando gli argomenti dei due logaritmi, otteniamo:

$$(x-2)^2=(x+5)x$$

Risolvendo quest'ultima si ha $x=\frac{4}{9}$; poichè questo valore non soddisfa la condizione $x>2$ non è accettabile come soluzione dell'equazione proposta, che risulta pertanto essere impossibile.

Esempio:

Risolvere l'equazione $$\log_2(x^2+x+1)+3=\log_2(8-x^2)$$

Sono accettabili solo soluzioni soddisfacenti entrambe le disequazioni del sistema:

$$\left\{\begin{array}{l} x^2+x+1>0\\ 8-x^2>0\end{array}\right.$$

e quindi soddisfacenti la condizione $-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$.

Sostituendo al numero $3$ il $\log_2 8$ e procedendo poi come descritto nel precedente esempio si ottiene:

$$\log_2(x^2+x+1)+\log_2 8=\log_2(8-x^2)\quad\Rightarrow\quad \log_2 [8(x^2+x+1)]=\log_2(8-x^2)$$

ovvero:

$$8(x^2+x+1)=8-x^2$$

Le soluzioni di quest'ultima, che sono $x=0$ e $x=-\frac{8}{9}$, sono entrambe accettabili come soluzioni dell'equazione data perchè cadono nel campo di esistenza inizialmente calcolato ($-2\sqrt{2} < x < 2\sqrt{2}$).

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