Equazioni di secondo grado

Un'equazione di secondo grado è un'uguaglianza in cui l'esponente maggiore con cui compare l'incognita $x$ è 2, ossia del tipo $$ax^2+bx+c=0\qquad a\neq 0\qquad (\bigstar)$$ dove le lettere $a$ e $b$ sono i coefficienti dei termini con la $x$ e $c$ è il termine noto.

la $(\bigstar)$ viene chiama equazione di secondo grado in forma normale poichè non contiene termini simili (termini che si possono sommare tra di loro e quindi che hanno la stessa parte letterale).

Ad esempio $2x^2-5x+1=0$ è un esempio di equazione di secondo grado scritta in forma normale.

Esistono quattro tipi di equazioni di secondo grado:

Analizziamole una per volta.

Risoluzione di un'equazione di secondo grado completa

Un'equazione di secondo grado si dice completa quando tutti e tre i coefficienti $a,b,c$ sono non nulli.

Per risolvere un'equazione di secondo grado si calcola innanzitutto la quantità $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\Delta=b^2-4ac}$$ definita come discriminante dell'equazione o semplicemente "Delta". Il Delta di un'equazione di secondo grado ci permette di capire se l'equazione del tipo $(\bigstar)$ ha soluzioni o meno. In particolare abbiamo: $$\mbox{Se }\Delta\begin{cases} > 0\quad\bigstar\mbox{ ha 2 soluzioni reali e distinte } x_1,x_2\\ = 0\quad\bigstar\mbox{ ha 2 soluzioni reali e coincidenti } x_1,x_2\ (x_1=x_2)\\ < 0\quad\bigstar\mbox{ non ha soluzioni reali (impossibile)}\end{cases}$$

Ad esempio, il delta dell'equazione $x^2-3x+5=0\quad(a=1,\ b=-3,\ c=5)$ è $$\Delta=(-3)^2-4\cdot 1\cdot 5=9-20=-11$$ essendo negativo, ci permette di affermare senza provare a risolvere l'equazione, che $x^2-3x+5=0$ non ha soluzioni reali e quindi è impossibile.

Nel caso in cui invece il Delta fosse maggiore o uguale a zero possiamo ricavare le soluzioni dell'equazione di secondo grado mediante la seguente formula risolutiva: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}}\qquad (\bigstar\bigstar)$$

In particolare, nel caso $\Delta > 0$ avremo le due soluzioni reali e distinte $$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}\qquad x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$$ mentre nel caso $\Delta = 0$ avremo le due soluzioni coincidenti $$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}$$

Osserviamo che nel caso in cui $\Delta < 0$ se provassimo ad applicare la formula risolutiva $(\bigstar\bigstar)$ avremmo inevitabilmente la radice quadrata $\sqrt{\Delta}$ di un numero negativo, per tale motivo si dice che l'equazione è impossibile.

Esempio risoluzione equazione secondo grado completa

Calcoliamo le radici dell'equazione $$4x^2-7x-2=0$$

I coefficienti sono: $$a=4,\ b=-7,\ c=-2$$

Calcoliamo il delta $$\Delta = 7^2-4\cdot 4\cdot (-2)=81$$ e applichiamo la formula risolutiva $$x_{1,2}=\frac{-(-7)\pm\sqrt{81}}{2\cdot 4}=\frac{7\pm 9}{8}\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} \frac{7+9}{8}=2\ \\ \\ \frac{7-9}{8}=-\frac{1}{4}\end{array}$$

Le radici dell'equazione sono $x_1=2 $ e $x_2=-\frac{1}{4}$.

Formula risolutiva del delta ridotta

Per completare il discorso, aggiungiamo che se nell'equazione $(\bigstar)$ il coefficiente $b$ è un numero pari, la formula risolutiva può essere semplificata come segue: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}}\qquad (\bigstar\bigstar\bigstar)$$ dove la quantità sotto radice si chiama Delta quarti ed è pari a $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^2-ac}$$

Applicazione delle formula risolutiva ridotta

Risolviamo l'equazione $$x^2-2x-35=0$$

Poichè $b=-2$ è pari possiamo calcolare il delta quarti $$\frac{\Delta}{4}=(-1)^2-1(-35)=1+35=36$$ e applicare la formula ridotta $$x_{1,2}=1\pm\sqrt{36}=1\pm 6\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} 7\ \\ \\ -5\end{array}$$

Vediamo adesso che le equazioni incomplete possono essere risolte senza fare uso della formula del delta.

Risoluzione di un'equazione di secondo grado pura

Un'equazione di secondo grado si dice pura se il coefficiente del termine con l'incognita $x$ è nullo, ossia l'equazione è del tipo $$ax^2+c=0\quad (a\neq 0,\ c\neq 0)\qquad(\blacksquare)$$

Per risolverla basta applicare i principi di equivalenza delle equazioni: $$ax^2=-c\Rightarrow\ x^2=-\frac{c}{a}$$

A questo punto si possono verificare due situazioni:

  1. Se $-\frac{c}{a} < 0$ l'equazione $(\blacksquare)$ è impossibile dato che non esiste nessun valore di $x$ che elevato al quadrato ci fornisce un numero negativo.
  2. Se $-\frac{c}{a}\geq 0$ l'equazione $(\blacksquare)$ ha due soluzioni che si ricavano applicando la radice quadrata ad ambo i membri della precedente uguaglianza: $$x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}$$

Esempio risoluzione equazione di secondo grado pura

Calcoliamo le radici dell'equazione $$5x^2-20=0$$

Isoliamo il termine con l'incognita portando nel secondo membro il termine noto: $$5x^2=20$$

Dividiamo entrambi i membri per 5: $$x^2=4$$ e applichiamo la radice algebrica: $$x=\pm\sqrt{4}=\pm 2$$

Quindi le due soluzioni sono $x_1=-2$ e $x_2=2$

Esempio di equazione di secondo grado pura impossibile

Calcoliamo le radici dell'equazione incompleta $$3x^2+27=0$$

Svolgendo gli stessi passaggi dell'esempio precendente otteniamo: $$3x^2=-27\ \Rightarrow\ x^2=-9$$

Poichè nessun numero può avere quadrato negativo, l'equazione data non ha soluzioni.

Risoluzione di un'equazione di secondo grado spuria

Un'equazione di secondo grado si dice spuria se il termine noto è nullo, ossia l'equazione è del tipo $$ax^2+bx=0\quad (a\neq 0,\ b\neq 0)\qquad(\blacksquare\blacksquare)$$

Per risolverla mettiamo in evidenza la $x$ e applichiamo la legge dell'annullamento del prodotto: $$x(ax+b)=0\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array} \begin{array}{l} x= 0\ \\ \\ ax+b= 0\ \Rightarrow\ x=-\frac{b}{a}\end{array}$$

Dunque, in generale, un'equazione spuria ha sempre due soluzioni di cui una nulla $x_1=0$ e un'altra pari a $x_2=-\frac{b}{a}$.

Esempio di equazione di secondo grado incompleta spuria

Calcoliamo le radici dell'equazione incompleta $$6x^2-5x=0$$

Raccogliamo $x$: $$x(6x-5)=0$$ e applichiamo la legge dell'annullamento del prodotto: $$x=0\qquad\mbox{oppure}\qquad 6x-5=0\ \Rightarrow\ x=\frac{5}{6}$$

Le soluzioni sono $x=0$ e $x=\frac{5}{6}$.

Risoluzione di un'equazione di secondo grado monomia

Un'equazione di secondo grado si dice monomia se sono nulli il coefficiente di $x$ e termine noto, ossia l'equazione è del tipo $$ax^2=0\quad (a\neq 0)$$

In questo caso, dividendo ambo i membri per $a$, otteniamo due soluzioni coincidenti o la soluzione doppia $x=0$

Possiamo dire che, in generale, un'equazione di secondo grado monomia ha sempre due soluzioni coincidenti e nulle.

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