Equazioni di grado superiore al secondo

In questa lezione, abbiamo visto come risolvere le equazioni di secondo grado utilizzando la formula del delta oppure il metodo veloce per le equazioni pure e spurie. Adesso, sorge spontanea un'altra domanda: come procediamo se dobbiamo risolvere un'equazione di grado terzo, quarto, quinto, ecc., in generale di grado superiore al secondo?

Intanto, diciamo come si presenta un'equazione di grado superiore al secondo. Essa è caratterizzata dalla presenza di termini di terzo, quarto, quinto, ecc.. grado. Ad esempio,

  1. $x^3+11x^2+38x+40=0$ (risoluzione!)
  2. $2x^3+3x^2-2x-3=0$ (risoluzione!)
  3. $x^4-5x^2+4=0$ (risoluzione!)
  4. $x^4-7x^2-144=0$ (risoluzione!)

Poichè non esistono delle formule (come la formula del delta per le equazioni di secondo grado) per trovare le soluzioni di equazioni di grado superiore al secondo, l'unica possibilità che abbiamo è quella di scomporre il polinomio con le tecniche che abbiamo già visto qui (clicca!) .

L'idea, infatti, è quella di abbassare il grado del polinomio presente al primo membro dell'equazione in modo da avere solo prodotti tra polinomi di grado inferiore o uguale al secondo.

Risoluzione di equazioni di terzo grado

Esempio 1

Risolviamo l'equazione $$x^3+11x^2+38x+40=0$$

Per scomporre il polinomio di terzo grado $P_1(x)=x^3+11x^2+38x+40$, ricorriamo alla regola di Ruffini. Si vede che uno zero del polinomio è $x=-2$, infatti:

$$P_1(-2)=(-2)^3+11(-2)^2+38 (-2)+40=0$$

Costruiamo la tabella di Ruffini:

Essendo i coefficienti 1,9,20, il polinomio scomposto sarà:

$$\begin{eqnarray*} P_1(x)&=&x^3+11x^2+38x+40\\ &=& (x+2)(x^2+9x+20)=0 \end{eqnarray*}$$

Le soluzioni di quest'ultima equazione prodotto di polinomi, si trovano ponendo ciascuno di essi uguale a 0 e risolvendo l'equazione associata: $$\begin{array}{l} x+2=0\quad (1)\\ x^2+9x+20=0\quad (2)\end{array}$$

La prima, banalmente, ha soluzione $x=-2$, la seconda rappresenta un'equazione di secondo grado che si può svolgere usando la formula del delta oppure, più velocemente, mediante il metodo di scomposizione della somma e del prodotto; 4 e 5 sono quei due numeri la cui somma fa 9 (il coefficiente della x) e il prodotto fa 20 (il termine noto), dunque:

$$x^2+9x+20=(x+4)(x+5)$$

Ponendo anche questi ultimi fattori uguali a zero, otteniamo altre due soluzioni:

$$\begin{array}{l} x+4=0\ \rightarrow\ x=-4\\ x+5=0\ \rightarrow\ x=-5\end{array}$$

Alcune volte è possibile risolvere equazioni di terzo grado utilizzando il raccoglimento parziale a fattore comune.

Esempio 2

Risolviamo l'equazione $$2x^3+3x^2-2x-3=0$$

Semplicemente notiamo che: $$\begin{array}{l} 2x^3+3x^2-2x-3=0\\ x^2(2x+3)-(2x+3)=0\\ (2x+3)(x^2-1)=0\end{array}$$

L'ultima, al solito, si risolve ponendo entrambi i fattori uguali a zero e sviluppando i calcoli: $$\begin{array}{l} 2x+3=0\ \rightarrow\ x=-\frac{3}{2}\\ x^2-1=0 \ \rightarrow\ x=\pm 1\end{array}$$

Equazioni biquadriche

Vediamo adesso come risolvere particoli equazioni di quarto grado, dette equazioni biquadriche che presentano soltanto i termini di grado pari, ossia $x^4$, $x^2$ e il termine noto. La strategia utilizzata in questo caso è quella di fare la sostituzione $x^2=t$, in modo tale da abbassare il grado e ricondursi ad un'equazione di secondo che possiamo facilmente risolvere. Vediamo l'esempio qui di seguito.

Esempio 3

Risolviamo l'equazione $$x^4-5x^2+4=0$$

Come detto, sostituiamo $x^2$ con $t$ e di conseguenza avremo $x^4=t^2$. Otteniamo cosi l'equazione di secondo grado nella nuova variabile t: $$t^2-5t+4=0$$ che ha soluzioni t=1 e t=4. A questo punto, ritorniamo alla vecchia variabile x ricordandoci che $t=x^2$: $$\begin{array}{l} t=1\ \rightarrow\ x^2=1\ \rightarrow\ x=\pm 1 \\ t=4\ \rightarrow\ x^2=4 \rightarrow\ x=\pm 2 \end{array}$$

Vediamo un altro esempio di equazione biquadrica in cui le soluzioni trovate non sono tutte accettabili.

Esempio 4

Risolviamo l'equazione $$x^4-7x^2-144=0$$

Sostituendo $x^2=t$ otteniamo l'equazione $$t^2-7t-144=0$$ la quale ha soluzioni $t=16$ e $t=-9$. Poichè $t=x^2 > 0$, dobbiamo scartare la soluzione negativa $t=-9$ e considerare solo $t=16$. Per cui le soluzioni sono: $$t=16\ \rightarrow\ x^2=16 \ \rightarrow\ x=\pm 4$$

Vai agli esercizi

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.