Equazioni letterali intere

Le equazioni letterali intere sono equazioni che presentano una o più lettere oltre all'incognita, ed inoltre, questa non è mai presente nei denominatori.

Esempio

L'equazione $$\frac{(a+1)x}{2a}=\frac{5a(b-3)}{6b}$$ è letterale intera.

Nella risoluzione delle equazioni letterali intere è necessario discutere per quali valori delle lettere presenti, l'equazione è determinata, indeterminata o impossibile.

Esempio

Risolviamo l'equazione letterale $$ax-3a=2x$$

Portiamo al primo membro i termini con l'incognita e al secondo membro gli altri: $$ax-2x=3a$$

Raccogliamo $x$: $$(a-2)x=3a$$

Discussione

Prima di dividere i due membri per $(a-2)$, dobbiamo porre la condizione: $$a-2\neq 0,\quad\mbox{cioè}\quad a\neq 2$$

Se questa condizione è verificata, possiamo dividere i due membri per $a-2$. In tal caso l'equazione è determinata e la soluzione è $$x=\frac{3a}{a-2}$$

La soluzione dell'equazione è una funzione di $a$: se $a=5$ la soluzione è $x=5$, se $a=3$ la soluzione è $x=9$, e così via.

Se invece $a=2$, sostituiamo 2 ad $a$ nell'equazione $(a-2)x=3a$ e troviamo: $$0x=3\cdot 2,\quad\mbox{cioè}\quad 0x=6$$

Per $a=2$ l'equazione è impossibile.

In sintesi

  • se $a\neq 2$, l'equazione è determinata e la soluzione è $$x=\frac{3a}{a-2}$$
  • se $a=2$, l'equazione è impossibile

Come risolvere disuguaglianze con il segno $\neq$

Per discutere le equazioni letterali è spesso necessario risolvere delle disuguaglianze (vai qui per approfondimento).

Consideriamo per esempio la disuguaglianza $$2a+3\neq 0$$

Procediamo dunque come per la risoluzione dell'equazione, applicando i principi di equivalenza e le regole che ne derivano:

Per la regola del trasporto $$2a\neq -3$$

Per secondo principio di equivalenza $$\frac{2a}{2}\neq -\frac{3}{2},\quad\mbox{cioè}\quad a\neq -\frac{3}{2}$$

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