Equazioni numeriche intere

Le equazioni numeriche intere sono le equazioni a coefficienti numerici in cui l'incognita non è presente in alcun denominatore.

Esempio

Sono equazioni numeriche intere le seguenti:

  • $2x-5=0$ (coefficienti interi)
  • $\frac{1}{2}x-3=\frac{1}{5}$ (coefficienti frazionari)
  • $\sqrt{3}x-1=0$ (coefficienti irrazionali)

Applicando i principi di equivalenza, è sempre possibile trasformare un'equazione di primo grado intera in un'equazione equivalente scritta nella forma $ax=b$, ossia tale che il primo membro contenga il termine con l'incognita e il secondo membro contenga il termine noto. Si possono verificare 3 casi:

  1. Se $a\neq 0$, per risolvere un'equazione scritta in questa forma, basta dividere entrambi i membri per il coefficiente di $x$ (cioè $a$), ottenendo: $$x=\frac{b}{a}$$
  2. Se si verificano entrambe le condizioni $a=0$ e $b=0$, abbiamo $0x=0$. Sostituendo a $x$ un qualunque numero, l'uguaglianza è sempre verificata dato che qualsiasi numero moltiplicato per $0$ dà come risultato $0$. Poichè l'equazione $0x=0$ ha infinite soluzioni, l'equazione è indeterminata
  3. Se si verificano le due condizioni $a=0$ e $b\neq 0$, abbiamo $0x=b$, con $b\neq 0$. Questa equazione non ha soluzioni, poichè non esiste un numero che moltiplicato per $0$ dia come risultato un numero diverso da $0$. Non avendo soluzioni, l'equazione è impossibile.

Esempio

Risolviamo l'equazione numerica $$4x-9+(x-1)(x+1)=(x-3)^2+2x+5$$

Svolgiamo i calcoli sviluppando i prodotti notevoli presenti:

$$4x-9+\cancel{x^2}-1=\cancel{x^2}-6x+9+2x+5$$

Cancelliamo i termini uguali presenti in entrambi i membri (vedi regola di cancellazione):

$$4x-9-1=-6x+9+2x+5$$

Riduciamo i termini simili:

$$4x-10=-4x+14$$

Trasportiamo, nel primo membro i termini con l'incognita e nel secondo i termini noti, ricordando di cambiare di segno a ogni termine che viene trasportato da una parte all'altra dell'uguale (vedi regola del trasporto):

$$4x+4x=14+10$$

Riduciamo ancora una volta i termini simili:

$$8x=24$$

Siamo giunti a un'equazione di primo grado scritta nella forma richiesta. Per risolverla, dividiamo i due membri per $8$, cioè per il coefficiente di $x$:

$$\frac{8x}{8}=\frac{24}{8}$$

La soluzione è

$$x=3$$

Esempio

Risolviamo l'equazione numerica $$4x-12-3x=5+x-17$$

Trasportiamo al primo membro i termini contenenti l'incognita, al secondo membro i termini noti:

$$4x-3x-x=12+5-17$$

Riducendo in termini simili otteniamo:

$$0x=0$$

Questo vuol dire che l'equazione è indeterminata.

Esempio

Risolviamo l'equazione numerica $$2(x-1)-2x=0$$

Facendo il prodotto al primo membro otteniamo:

$$2x-2-2x=0$$

Riducendo i termini simili si ha:

$$0x-2=0$$

Trasportando il $-2$ a secondo membro risulta:

$$0x=2$$

che è un'equazione impossibile e quindi non ha soluzioni.

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