Identità ed equazioni

 

Identità

Un'identità è un'uguaglianza fra 2 espressioni letterali verificata per qualunque valore attribuito alle lettere contenute nelle epsressioni.

Ciascuna delle 2 espressioni che costituiscono l'uguaglianza viene detta membro dell'identità.

Membri di un'identità o equazione

Esempio

Le seguenti uguaglianze:

  • $a(b+c)=ab+ac$
  • $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$
  • $5\cdot(-6+4)=-10$

sono tutte identità perchè il primo membro è uguale al secondo per qualsiasi valore di $a,b,c$.

Anche la seguente uguaglianza $$4a(a+b)=(a+2b)^2+3a^2-4b^2$$ è un'identità; infatti, eseguendo i calcoli, si ha: $$4a^2+4ab=a^2+4b^2+4ab+3a^2-4b^2$$ e sommando i termini simili, si ottiene: $$4a^2+4ab=4a^2+4ab$$ dove ogni termine presente al primo membro è presente anche al secondo membro e viceversa.

 

Equazioni

Un'equazione è un'uguaglianza fra 2 espressioni letterali per la quale si cercano i valori da attribuire alle lettere che la rendono vera.

Esempio

L'uguaglianza $$2x+1=7$$ è un'equazione. Essa risulta verificata solo per $x=3$. Infatti $2\cdot 3+1=7$.

È chiaro, quindi, che per verificare se il valore trovato soddisfa effettivamente l'equazione, basta andarlo a sostituire al posto della lettera e, dopo aver fatto i conti necessari, accertarsi di aver ottenuto un'identità.

Le variabili presenti in un'equazione sono dette incognite dell'equazione.

Esempio

  • $2-3y=5$ è un'equazione nell'incognita $y$;
  • $x+3y=7$ è un'equazione in due incognite $x$ e $y$.

I valori che rendono vera un'equazione si chiamano soluzioni o radici dell'equazione. Si può anche dire che tali valori verificano (o anche soddisfano) l'equazione.

Risolvere un'equazione significa determinare tutte le soluzioni.

Esempio

  • $y-9=1$ ha come soluzione $y=10$, perchè $10-9=1$;
  • $x^2=4$ ha 2 soluzioni: $x=2$ e $x=-2$. Infatti, $(2)^2=4$ e $(-2)^2=4$.

Classificazione delle equazioni

Possiamo classificare le equazioni in base alla posizione dell'incognita:

  • equazioni intere: se l'incognita è presente soltanto nei numeratori;
  • equazioni fratte: se l'incognita compare anche (o solamente) nei denominatori.

Le equazioni posso poi essere classificate in base ai coefficienti:

  • equazioni numeriche: se i coefficienti sono tutti numeri;
  • equazioni letterali: se nei coefficienti ci sono anche le lettere.

Esempio

L'equazione $$\sqrt{2}-\frac{2}{3}=\frac{1}{3x}$$ è un'equazione numerica (fratta)

L'equazione, nell'incognita $x$ $$(1-2a)x=3ax+\frac{1}{4}$$ è letterale (intera)

Esiste, infine una terza classificazione che considera l'esistenza di soluzioni:

  • equazione determinata: se ha un numero finito di soluzioni;
  • equazione indeterminata: se ha infinite soluzioni.
  • equazione impossibile: se non ha soluzioni.

Esempio

  • $\frac{1}{2}x+3=\frac{5}{2}$ è un'equazione determinata; infatti ha una sola soluzione: $x=-1$.
  • $x+y=1$ è un'equazione indeterminata; infatti risulta verificata per infiniti valori di $x$, al variare di $y$ (per $y=0,\ x=1$; per $y=1,\ x=0$; per $y=2,\ x=-1$, ecc.).
  • $x+1=x$ è un'equazione impossibile; infatti non esiste alcun valore di $x$ che renda vera l'uguaglianza.

 

Due equazioni contenenti la stessa incognita si dicono equivalenti se hanno le stesse soluzioni.

Esempio

Le due equazioni $$4x-2=10\quad 4x=12$$ sono equivalenti perchè entrambe hanno come unica soluzione $x=3$

Esempio

Le due equazioni $$x-1=4\quad 2x-3=-1$$ non sono equivalenti, perchè la soluzione soluzione della prima è $x=5$ e la soluzione della seconda è $x=1$

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