Principi di equivalenza

Per risolvere un'equazione cercheremo di trasformarla in equazioni equivalenti, via via più semplici, fino a giungere a un'equazione in cui sia immediato trovare delle soluzioni.

Le regole di trasformazione di un'equazione in altre equazioni a essa equivalenti sono stabilite da 2 principi, chiamati principi di equivalenza

Primo principio di equivalenza

Data un'equazione, se si aggiunge ai due membri uno stesso numero (positivo o negativo) o una stessa espressione, si ottiene un'equazione equivalente.

Primo principio di equivalenza

Esempio

Risolviamo l'equazione $$7x-2=6x+1$$

Per eliminare il termine $+6x$ dal secondo membro, aggiungiamo a entrambi i membri il termine $-6x$:

Applicazione del primo principio di equivalenza

Otteniamo l'equazione $$x-2=1$$

Per eliminare $-2$ dal primo membro, aggiungiamo ai due membri $+2$:

Applicazione del primo principio di equivalenza

Otteniamo l'equazione $$x=3$$

Poichè le due equazioni $$7x-2=6x+1\quad x=3$$ sono equivalenti, $x=3$ è la soluzione della prima equazione.

Si può rendere più rapido il procedimento di risoluzione dell'equazione notando che, quando si elimina da un membro un termine, esso ricompare nell'altro con il segno cambiato. Possiamo dunque riformulare il primo principio di equivalenza come segue:

Regola del trasporto: data un'equazione, se ne ottiene una equivalente se si trasporta un termine da un membro all'altro, cambiandolo di segno.

Regola del trasporto

Con considerazione analoghe si giunge alla:

Regola di cancellazione: termini uguali presenti in entrambi i membri di un'equazione possono essere soppressi, ottenendo un'equazione equivalente.

Esempio

L'equazione $$x+9=4+9$$ è equivalente a $$x=4$$ La seconda equazione, infatti, si ottiene cancellando il $9$ sia a primo che a secondo membro della prima equazione.

Secondo principio di equivalenza

Data un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente se si moltiplicano o si dividono i due membri per lo stesso numero, o espressione, diversi da zero.

Secondo principio di equivalenza

Esempio

Data l'equazione $$\frac{2}{3}x=10$$ moltiplichiamo per $3$ ambo i membri e otteniamo $$3\cdot\frac{2}{3}x=3\cdot 10,\quad\mbox{ossia}\quad 2x=30$$

Dividiamo i due membri per $2$ e otteniamo l'equazione $$\frac{2x}{2}=\frac{30}{2},\quad\mbox{cioè}\quad x=15$$ che rappresenta la soluzione dell'equazione di partenza: infatti l'equazione ottenuto $x=15$ e l'equazione di partenza $\frac{2}{3}x=10$ sono equivalenti.

Consideriamo adesso l'equazione $$2=\frac{2}{x-1}$$

Moltiplichiamo ambo i membri per $x-1$ ponendo la condizione di esistenza $x-1\neq 0$. Otteniamo l'equazione: $$2(x-1)=\frac{4}{x-1}(x-1),\quad\mbox{cioè}\quad 2x-2=4$$

Trasportiamo il $-2$ al secondo membro cambiandolo di segno $$2x=4-2,\quad\mbox{cioè}\quad 2x=2$$ e per finire dividiamo ambo i membri per $2$, ottenendo la soluzione $x=2$.

Osserviamo che applicando il secondo principio di equivalenza, è possibile ricavare altre due regole utili per risolvere le equazioni:

Regola della divisione per un fattore comune diverso da zero: quando tutti i termini di un'equazione hanno un fattore numerico comune (diverso da zero), si ottiene un'equazione equivalente dividendo tutti i termini per quel fattore.

Esempio

Nell'equazione $$3x+9=24-3$$ i termini $3x,9,24$ e $6$ sono tutti divisibili per $3$; pertanto possiamo dividere ciascun termine per $3$, ottenendo l'equazione $$x+3=8-1$$ equivalente alla data.

Regola del cambiamento di segno: cambiando segno a tutti i termini di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente.

Esempio

L'equazione $$-5x+8=-23$$ è equivalente all'equazione $$5x-8=23$$

Abbiamo cambiato il segno a tutti i termini dell'equazione: cio equivale a moltiplicare i due membri dell'equazione per $-1$!.

Vai agli esercizi svolti sulle equazioni di primo grado

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