In questo articolo ti ho parlato dei principi di equivalenza che si usano per risolvere un'equazione di primo grado. Tali principi vengono utilizzati anche per risolvere equazioni con il simbolo diverso ($\neq$), più propriamente dette disuguaglianze. Infatti, la parola equazione si usa quando il simbolo che separa i due membri è appunto l'uguale ($=$).
In questo articolo ti mostro come risolvere le disuguaglianze con il simbolo diverso mediante esempi pratici. Qui sotto l'elenco degli esercizi che ti ho proposto:
- $5x-7\neq 0$
- $6a^2-2a\neq 0$
- $x^2-4\neq 0$
- $2x\neq 0$
Disuguaglianza 1
$$5x-7\neq 0$$
$$5x-7\neq 0$$
Svolgimento
Applichiamo alla disuguaglianza gli stessi principi di equivalenza usati nelle equazioni. Portiamo il $-7$ al secondo membro cambiandolo di segno (regola del trasporto):
$$5x\neq 7$$
Dividiamo i due membri per $5$ (secondo principio di equivalenza) $$\begin{eqnarray} \frac{5x}{5} &\neq &\frac{7}{5}\\ x &\neq & \frac{7}{5}\end{eqnarray}$$
Applichiamo alla disuguaglianza gli stessi principi di equivalenza usati nelle equazioni. Portiamo il $-7$ al secondo membro cambiandolo di segno (regola del trasporto):
$$5x\neq 7$$
Dividiamo i due membri per $5$ (secondo principio di equivalenza) $$\begin{eqnarray} \frac{5x}{5} &\neq &\frac{7}{5}\\ x &\neq & \frac{7}{5}\end{eqnarray}$$
Disuguaglianza 2
$$6a^2-2a\neq 0$$
$$6a^2-2a\neq 0$$
Svolgimento
Raccogliamo $2a$:
$$2a(3a-1)\neq 0$$
Se un prodotto di due fattori è diverso da zero, entrambi i fattori devono essere diversi da $0$ (se anche uno solo fosse nullo, l'intero prodotto sarebbe nullo, per la legge di annullamento del prodotto) Perciò:
$$2a(3a-1)\neq 0\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array}\begin{array}{l} 2a\neq 0\ (1) \\ \\ 3a-1\neq 0\ (2)\end{array}$$
La (1) ha soluzioni $a\neq 0$ mentre la (2) diventa $\ 3a\neq 1$ e quindi $a\neq\frac{1}{3}$
La soluzione della disuguaglianza è la congiunzione delle due soluzioni appena trovate che scriveremo utilizzando della congiunzione logica il simbolo $\wedge$ :
$$a\neq 0\ \wedge\ a\neq\frac{1}{3}$$.
Questo perché, come già detto, entrambe le espressioni suddette devono verificarsi affinché l'espressione data $2a(3a-1)$ sia diversa da 0.
Raccogliamo $2a$:
$$2a(3a-1)\neq 0$$
Se un prodotto di due fattori è diverso da zero, entrambi i fattori devono essere diversi da $0$ (se anche uno solo fosse nullo, l'intero prodotto sarebbe nullo, per la legge di annullamento del prodotto) Perciò:
$$2a(3a-1)\neq 0\begin{array}{l} \nearrow\\ \searrow\end{array}\begin{array}{l} 2a\neq 0\ (1) \\ \\ 3a-1\neq 0\ (2)\end{array}$$
La (1) ha soluzioni $a\neq 0$ mentre la (2) diventa $\ 3a\neq 1$ e quindi $a\neq\frac{1}{3}$
La soluzione della disuguaglianza è la congiunzione delle due soluzioni appena trovate che scriveremo utilizzando della congiunzione logica il simbolo $\wedge$ :
$$a\neq 0\ \wedge\ a\neq\frac{1}{3}$$.
Questo perché, come già detto, entrambe le espressioni suddette devono verificarsi affinché l'espressione data $2a(3a-1)$ sia diversa da 0.
Disuguaglianza 3
$$x^2-4\neq 0$$
$$x^2-4\neq 0$$
Svolgimento
Portiamo al secondo membro il $-4$:
$$x^2\neq 4$$
Applichiamo la radice quadrata in entrambi osservando che a secondo membro bisogna calcolare radice algebrica quadrata di $4$:
$$\begin{eqnarray} \sqrt{x} &\neq & \sqrt{4}\\ x &\neq &\pm 2\end{eqnarray}$$
Portiamo al secondo membro il $-4$:
$$x^2\neq 4$$
Applichiamo la radice quadrata in entrambi osservando che a secondo membro bisogna calcolare radice algebrica quadrata di $4$:
$$\begin{eqnarray} \sqrt{x} &\neq & \sqrt{4}\\ x &\neq &\pm 2\end{eqnarray}$$
Disuguaglianza 4
$$2x\neq 0$$
$$2x\neq 0$$
Svolgimento
Banalmente un numero moltiplicato per un'incognita $x$ è diverso da zero solo quando l'incognita $x$ è diversa da zero, dunque la soluzione è:
$$x\neq 0$$
Banalmente un numero moltiplicato per un'incognita $x$ è diverso da zero solo quando l'incognita $x$ è diversa da zero, dunque la soluzione è:
$$x\neq 0$$
