MCD e mcm fra polinomi

Per trovare M.C.D. e m.c.m tra due o più polinomi bisogna innanzitutto scomporli in fattori irriducibili utilizzando i metodi di scomposizione studiati.

Il calcolo del massimo comune divisore e del minimo comune multiplo è utile per saper svolgere il calcolo delle frazioni algebriche.

Esempio

Determiniamo il M.C.D. e il m.c.m fra

  1. $a^3+2a^2-3a;\quad 5a^3-5a;\quad a^2-a^3$ (risoluzione)
  2. $8-x^3;\quad 6x^2-x^3-12x+8;\quad x^2-4x+4$ (risoluzione)
  3. $6-x-x^2;\quad x^3-7x+6;\quad x^2-3x+2$ (risoluzione)

 

Esercizio 1

Scomponiamo in fattori il polinomio $a^3+2a^2-3a$ mettendo a fattore comune il termine $a$: $$a^3+2a^2-3a=a(a^2+2a-3)=$$

Non possiamo fermarci qui, perchè il secondo fattore è un trinomio di secondo grado scomponibile. Basta infatti trovare due numeri la cui somma è 2 e il prodotto è -3 (cioè -1 e 3): $$=\underline{a(a-1)(a+3)}$$

Nel secondo polinomio, invece, possiamo mettere in evidenza il termine $5a$: $$5a^3-5a=5a(a^2-1)=$$ e scomporre la differenza di quadrati $a^2-1$: $$=\underline{a(a-1)(a+1)}$$

Infine, il terzo polinomio può essere scomposto mediante raccoglimento a fattore comune del termine $-a^2$: $$a^2-a^3=a^2(1-a)=\underline{-a^2(a-1)}$$

Seguendo le stesse regole usate per calcolare M.C.D. e m.c.m tra monomi e tenendo conto della scomposizione appena fatta, si ha: $$\begin{array}{l} M.C.D.(a^3+2a^2-3a,\ 5a^3-5a,\ a^2-a^3)=a(a-1)\\ m.c.m.(a^3+2a^2-3a,\ 5a^3-5a,\ a^2-a^3)=5a^2(a-1)(a+3)(a-1)\end{array}$$

 

Esercizio 2

Scomponiamo $8-x^3$ notando che esso rappresenta una differenza di cubi con $A=2$ e $B=x$: $$8-x^3=\underline{(2-x)(4+2x+x^2)}=$$

$4+2x+x^2$ non è ulteriormente scomponibile sia perchè non rappresenta lo sviluppo di un quadrato di binomio (dato che il doppio prodotto $2x\neq 4x$), e sia perchè non esistono due numeri tali che la loro somma è 2 e il loro prodotto è 4.

Ordiniamo il polinomio $6x^2-x^3-12x+8$: $$=-x^3+6x^2-12x+8=$$

Si può osservare che esso è esattamente lo sviluppo di un cubo di binomio e precisamente: $$=\underline{(2-x)^3}$$

Infine, $x^2-4x+4$ è lo sviluppo del quadrato di binomio $(x-2)^2$, ma poichè nei polinomi precedenti compare il fattore $(2-x)$, riscriviamolo nel seguente modo equivalente: $$x^2-4x+4=(x-2)^2=\underline{(2-x)^2}$$

M.C.D. e m.c.m. sono rispettivamente: $$\begin{array}{l} M.C.D.(8-x^3,\ 6x^2-x^3-12x+8,\ x^2-4x+4)=2-x\\ m.c.m.(8-x^3,\ 6x^2-x^3-12x+8,\ x^2-4x+4)=(2-x)^3(4+2x+x^2)\end{array}$$

 

Esercizio 3

Mettendo in evidenza un segno - davanti al polinomio $6-x-x^2$ $$6-x-x^2=-(x^2+x-6)=$$ notiamo che questo è un particolare trinomio di secondo grado che si può scomporre se determiniamo quei due numeri tali che la loro somma fa 1 e il loro prodotto -6. Essi sono 3 e -2 e quindi: $$=-(x+3)(x-2)=\underline{(x+3)(2-x)}$$

$x^3-7x+6$ è un polinomio di terzo grado scomponibile soltanto con la regola di Ruffini. Notiamo che 1 è uno dei divisori del termine noto 6 che annulla tale polinomio; pertanto esso risulta divisibile per $x-1$. Applicando la regola di Ruffini si vede che risulta: $$x^3-7x+6=(x-1)(x^2+x-6)=(1-x)(6-x-x^2)=$$

L'ultimo trinomio di secondo grado era stato già scomposto, quindi: $$=\underline{(1-x)(x+3)(2-x)}$$

Il polinomio $x^2-3x+2$ si scompone osservando che -2 e -1 sono quei numeri tali che la loro somma fa -3 e il loro prodotto 2, quindi: $$x^2-3x+2=(x-2)(x-1)=\underline{(2-x)(1-x)$$

In definitiva si ottiene: $$\begin{array}{l} M.C.D.(6-x-x^2,\ x^3-7x+6,\ x^2-3x+2)=2-x\\ m.c.m.(6-x-x^2,\ x^3-7x+6,\ x^2-3x+2)=(x+3)(1-x)(2-x)\end{array}$$

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