Potenze con esponente razionale

E&grave possibile scrivere i radicali in una forma diversa, che permette di estendere il concetto di potenza al caso in cui l'esponente è un numero razionale.

Potenza con esponente razionale: La potenza con esponente frazionario $\frac{m}{n}$ di un numero reale a, positivo o nullo, è la radice aritmentica n-esima di $a^m$.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{a^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}\quad (a\ge 0)}$$

Esempio

Esempi di calcolo di potenze con esponente frazionario.

  1. $1^{\frac{1}{4}}=\sqrt[4]{1}=1$.
  2. $0^{\frac{3}{2}}=\sqrt{0^3}=0$.
  3. $5^{\frac{2}{3}}=\sqrt[3]{5^2}=\sqrt[3]{25}$.
  4. $2^{-\frac{4}{5}}=\sqrt[5]{2^{-4}}=\sqrt[5]{\left(\frac{1}{2}\right)^4}=\sqrt[5]{\frac{1}{16}}$.
  5. La scrittura $(-4)^{\frac{1}{2}}$ non ha significato, perchè nella definizione sono escluse le potenze di numeri negativi.

Per le potenze con esponente razionale valgono le proprietà delle potenze con esponente intero.

Nelle espressioni irrazionali, invece di operare con i radicali, possiamo operare con le potenze.

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