Radicali quadratici doppi

Si chiama radicale quadratico doppio un'espressione del tipo:

$$\sqrt{a+\sqrt{b}}$$

Un radicale doppio può essere trasformato nella somma o nella differenza di due radicali semplici solo quando l'espressione $a^2-b$ è il quadrato di un numero razionale o di una espressione che non contiene radicali.

In tal caso valgono le due uguaglianze che consideriamo di seguito:

$$\begin{array}{l} \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\\ \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\end{array}$$

Esempio

Esempio trasformazione radicale doppio in radicale semplice

Trasformiamo il radicale doppio $$\sqrt{8-\sqrt{15}}$$ nella differenza fra due radicali semplici.

Ciò è possibile poichè:

$\begin{array}{l} 8^2-15=64-15=49=7^2\\ \sqrt{8-\sqrt{15}}=\sqrt{\frac{8+\sqrt{49}}{2}}-\sqrt{\frac{8-\sqrt{49}}{2}}=\sqrt{\frac{8+7}{2}}-\sqrt{\frac{8-7}{2}}=\\ =\sqrt{\frac{15}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{15}}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{15}-1}{\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{15}-1)\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{30}-\sqrt{2}}{2}\end{array}$.

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