Radici algebriche

Esaminiamo il seguente problema: qual è il numero positivo che elevato al quadrato dà 9?

Consideriamo di nuovo lo stesso problema, però nel campo dei numeri reali relativi.

Quali sono, se esistono, i numeri reali relativi che elavati al quadrato danno 9?

Un numero è senz'altro 3, ma non è il solo; infatti anche -3 è soluzione del problema, perchè $(-3)^2=9$.

I due numeri reali opposti, +3 e -3, si chiamano radici algebriche.

In generale,

dato il numero naturale $n\neq 0$, e un numero reale a, si chiamano radici algebriche n-esime del numero a tutti i numeri reali la cui potenza con esponente n è uguale ad a. Indichiamo ognuna di esse col simbolo $\stackrel{alg}{\sqrt[n]{a}}$

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{a}=b\quad\Leftrightarrow\quad b^n=a\quad\quad (n\neq0,\ a,b\in\mathbb R)}$$

Calcolo radici algebriche

  1. La radice aritmetica $\sqrt[4]{16}$ è soltanto 2, ossia $\sqrt[4]{16}=+2$. Invece $\stackrel{alg}{\sqrt[4]{16}}=\pm 2$, perchè $(+2)^4=16$ e $(-2)^4=16$.
  2. La radice aritmetica $\sqrt[3]{-125}$ non esiste perchè nessun numero positivo elevato a esponente 3 può dare come risultato un numero negativo. Invece $\stackrel{alg}{\sqrt[3]{-125}}=-5$, perchè $(-5)^3=-125$.

Nel campo dei numeri reali, la radice algebrica:

  • se l'esponente è pari, può assumere due valori, uno oppure nessuno, a seconda che il radicando sia maggiore, uguale o minore di 0;
  • se l'esponente è dispari, assume sempre un solo valore.

Calcolo radici algebriche con esponente pari

  1. $\stackrel{alg}{\sqrt[2]{4}}=\pm 2$.
  2. $\stackrel{alg}{\sqrt[4]{0}}=0$.
  3. $\stackrel{alg}{\sqrt[2]{-4}}$ non esiste in $\mathbb R$.

Calcolo radici algebriche con esponente dispari

  1. $\stackrel{alg}{\sqrt[3]{-8}}=-2$.

Il seguente diagramma fornisce una sintesi delle radici n-esime algebriche di un numero reale a.

Radici algebriche ennesime di un numero reale

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