La razionalizzazione

Razionalizzare il denominatore di una frazione significa trasformare la frazione in una equivalente che non ha radicali a denominatore. Ciò risulta utile, per esempio, nella somma di frazioni.

Per razionalizzare il denominatore di una frazione si applica la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore per uno stesso fattore diverso da 0.

Esaminiamo i casi più comuni.

Il denominatore è un unico reale

Se il denominatore contiene un radicale quadratico, basta moltiplicare numeratore e denominatore per il radicale stesso.

Esempio

$$\frac{6}{\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\frac{6\cdot\sqrt{2}}{2}=3\sqrt{2}$$

Il risultato $3\sqrt{2}$ non contiene radicali al denominatore.

In generale, supposto $a>0$, se il radicale al denominatore non è quadratico, si razionalizza nel seguente modo:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\frac{1}{\sqrt[n]{a^m}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^m}\sqrt[n]{a^{n-m}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^{m+(n-m)}}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{\sqrt[n]{a^n}}=\frac{\sqrt[n]{a^{n-m}}}{a}}$$

Esempio

Razionalizzazione di un denominatore con radicale non quadratico

$\frac{21}{\sqrt[5]{49}}=\frac{21}{\sqrt[5]{7^2}}=\frac{21}{\sqrt[5]{7^2}}\cdot\frac{\sqrt[5]{7^3}}{\sqrt[5]{7^3}}=\frac{21\cdot\sqrt[5]{7^3}}{7}=3\sqrt[5]{7^3}$.

Il denominatore è la somma o la differenza di due termini, dei quali almeno uno è un radicale quadratico

Esempio

Razionalizziamo la seguente frazione:

$$\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}$$

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per la differenza $\sqrt{7}-\sqrt{2}$, in modo da applicare il prodotto notevole $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

$\frac{8}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{\sqrt{7}-\sqrt{2}}=\frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{2})^2}=\frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{7-2}=\frac{8(\sqrt{7}-\sqrt{2})}{5}$.

Se al denominatore ci fosse stata una differenza, avremmo moltiplicato per la somma.

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