Intorno di un punto

Consideriamo un punto $x_0 \in \mathbb{R}$ e consideriamo come distanza tra due punti $x$ e $y$ di $\mathbb{R}$ l'usuale distanza $d(x, y) = |x - y|$. Un intorno completo del punto $x_0$ è un qualsiasi intervallo aperto di $\mathbb{R}$ che contiene $x_0$ e che possiamo esprimere come $$I(x_0) = ]x_0 - r_1, x_0 + r_2[$$ dove $r_1$ ed $r_2$ sono reali e positivi.

 

intorno completo di un punto sulla retta reale

 

Se invece il raggio dell'intervallo è lo stesso, cioè $r_1 = r_2 = r$, allora si parlerà di intorno circolare, che quindi sarà definito come $$I_{r}(x_0) = \{ x \in \mathbb{R} : \quad |x - x_0| < r \} = \{ x \in \mathbb{R} : \quad x_0 -r < x < x_0 + r \} = ]x_0 - r, x_0 + r [ $$

 

intorno circolare di un punto sulla retta reale

 

Spesso gli intorni circolari sono indicati anche come "bolle", ovvero $B_{r}(x_0)$, oppure $B(x_0, r)$. Se il raggio a cui si fa riferimento è piccolo a piacere, si suole spessp indicarlo con $\epsilon$ anzichè $r$.

A partire dalla definizione di intorno circolare, possiamo facilmente definire l'intorno sinistro di $x_0$ e di raggio $r$ il seguente intervallo aperto $$I_{r}(x_0)^{-} = \{ x \in \mathbb{R} : \quad x_0 -r < x < x_0 \} = ]x_0 - r, \ x_0 [ $$

 

intorno circolare sinistro di un punto sulla retta reale

 

Un intorno circolare destro sarà allora definito come $$I_{r}(x_0)^{+} = \{ x \in \mathbb{R} : \quad x_0 < x < x_0+r\} = ]x_0, \ x_0+r [$$

 

intorno circolare destro di un punto sulla retta reale

 

Se invece per "punto" intendiamo un elemento di un qualsiasi spazio, ad esempio $\mathbb{R^2}$ o $\mathbb{R^3}$ e scelta come distanza ad esempio quella euclidea $d(x, y) = \sqrt{\sum_{i}(x_i - y_i)^2}$, dove $x_i$ e $y_i$ sono le componenti dei vettori $x$ e $y$, allora gli intorni saranno:

$$B(x_0, r) = x \in \mathbb{R^2} : \quad d(x, x_0) < r = \{ (x_1, x_2) \in \mathbb{R^2} : \quad \sqrt{(x_{1} - x_{0_{1}})^2 + (x_{2} - x_{0_2})^2} < r \}$$

$$B(x_0, r) = \{ x \in \mathbb{R^3} : \quad d(x, x_0) < r \} = \{ (x_1, x_2, x_3) \in \mathbb{R^3} : \quad \sqrt{(x_{1} - x_{0_1})^2 + (x_{2} - x_{0_2})^2+ (x_{3} - x_{0_3})^2} < r \} $$

Osserviamo, come intuitivamente si poteva pensare, che nei due casi particolari sopra indicati, abbiamo trovato le equazioni di una circonferenza e di una sfera di raggio $r$, i cui punti interni costituiscono gli intorni circolari.

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