Teoria sugli insiemi numerici

Un insieme $X$ si dice insieme numerico se è sottoinsieme dei numeri reali ($X\subseteq\mathbb R$).

$X$ si dice limitato superiormente se

$$\exists k\in\mathbb R:\ x\le k\ \forall x\in X$$

$X$ si dice limitato inferiormente se

$$\exists k\in\mathbb R:\ x\ge k\ \forall x\in X$$

$X$ si dice limitato se è limitato sia superiormente che inferiormente.

Se $X$ è limitato superiormente, ogni $k\in\mathbb R$ tale che $k\ge x\ \forall x\in X$ si dice maggiorante di $X$.

Se $X$ è limitato inferiormente, ogni $k\in\mathbb R$ tale che $k\le x\ \forall x\in X$ si dice minorante di $X$.

Esempio

Esempio di insieme numerico limitato superiormente ma non inferiormente

$$X=\{x\in\mathbb R: x < 5\}$$

$8$ è un maggiorante di $X$.

Esempio

Esempio di insieme numerico non limitato

$$X=\mathbb Q$$

$\mathbb Q$ è l'insieme dei numeri razionali.

 

Estremi degli insiemi numerici

Se $X\subseteq\mathbb R$ è limitato superiormente, si dice estremo superiore di $X$ ($\sup X$), il minimo dei maggioranti.

Analogamente, se $X$ è limitato inferiormente, si dice estremo inferiore di $X$ o ($\inf X$), il massimo dei minoranti.

In particolare se $X$ è limitato superiormente e $\sup X\in X$ allora $\sup X=\max X$.

Se, invece $X$ è limitato inferiormente e $\inf X\in X$ allora $\inf X=\min X$.

Se $X$ non è limitato superiormente si ha che $\sup X=+\infty$.

Se $X$ non è limitato inferiormente si ha che $\inf X=-\infty$.

Esempio

Calcolo sup e inf di insieme numerico

$$X=\{x\in\mathbb R: x \ge 4\}$$

$X$ è limitato inferiormente e l'estremo inferiore coindice con il minimo dell'insieme:

$$\inf X=\min X=4$$

$X$ non è limitato superiormente, pertanto l'insieme non ha massimo e l'estremo superiore vale + infinito:

$$\sup X=+\infty$$

Esempio

Calcolo sup e inf di insieme numerico

$$X=\{x\in\mathbb R: -2 < x \le 5\}$$

$X$ è limitato superiormente, ed essendo l'estremo superiore un elemento dell'insieme stesso, è anche massimo:

$$\sup X=5=\max X$$

$X$ è limitato inferiormente, non ha minimo e l'estremo inferiore è:

$$\inf X=-2$$

Due insiemi numerici $X$ e $Y$ si dicono separati se

$$x\le y\ \ \forall x\in X\ \ \forall y\in Y$$

Esempio

Esempio di insiemi separati

$$\begin{array}{l} X=\{x\in\mathbb R: x \le 2\}\\ Y=\{y\in\mathbb R: 3 < y \le 8\}\end{array}$$

$X$ e $Y$ sono separati perchè tutti gli elementi di $X$ sono minori di qualsiasi elemento di $Y$.

Due insiemi numerici separati $X$ e $Y$ si dicono contigui se

$$\sup X=\inf Y$$

Esempio

Esempio di insiemi separati e contigui

$$\begin{array}{l} X=\{x\in\mathbb R: x \le 3\}\\ Y=\{y\in\mathbb R: 3 < y \le 8\}\end{array}$$

$X$ e $Y$ oltre ad essere separati sono contigui poichè

$$\sup X=3=\inf Y$$

 

Intervalli

Chiamiamo intervalli tutti i sottoinsiemi di $\mathbb R$ contenenti tutti i numeri compresi tra il loro inf e il loro sup.

Esistono intervalli limitati che si distinguono in intervalli chiusi come:

$$[a,b]=\{x\in\mathbb R:a\le x\le b\}$$

e intervalli aperti quali:

$$\begin{array}{l} ]a,b[ &=\{x\in\mathbb R:a < x < b\}\\ [a,b[ &=\{x\in\mathbb R:a\le x < b\}\\ ]a,b] &=\{x\in\mathbb R:a < x \le b\}\end{array}$$

E poi ci sono intervalli non limitati del tipo:

$$\begin{array}{l} ]-\infty,b] &=\{x\in\mathbb R:x \le b\}\\ ]a,+\infty[ &=\{x\in\mathbb R:x > a\}\end{array}$$

NOTA BENE: l'unione di due o più intervalli non è sempre un intervallo!. Ad esempio $]3,4[\cup [5,+\infty[$ non è un intervallo.

 

Punti interni, di frontiera, di accumulazione e isolati

Sia $X\subseteq\mathbb R$ e $x_0\in\mathbb R$.

Diremo che $x_0$ è punto interno a $X$ se esiste un intorno di $x_0$ interamente contenuto in $X$.

Diremo che $x_0$ è punto di frontiera per $X$ se qualsiasi intorno di $x_0$ interseca sia $X$ che il complementare di $X$ ($\mathbb R\setminus X$) in almeno un punto.

$x_0$ è punto di accumulazione per $X$ se ogni suo intorno interseca $X$ in almeno un punto diverso da $x_0$.

Al contrario, $x_0$ è punto isolato per $X$ se $x_0\in X$ ed inoltre non è di accumulazione per $X$.

Esempio

Esempio di insieme con punti interni, di frontiera e di accumulazione

Nell'insieme $$X=[1,5[$$

  • i punti interni sono tutti quelli appartenenti all'intervallo $]1,5[$;
  • 1 e 5 sono punti di frontiera;
  • tutti i punti in $[1,5]$ sono di accumulazione;
  • non ci sono punti isolati.

Esempio

Esempio di insieme con punti interni, di frontiera, isolati e di accumulazione

Nell'insieme $$X=\mathbb N\ \cup\ ]3,6]$$

  • i punti interni sono tutti quelli appartenenti all'intervallo $]3,6[$;
  • i punti di frontiera sono tutti i numeri naturali esclusi 4 e 5;
  • i punti di accumulazione sono tutti quelli dell'intervallo $[3,6]$;
  • i punti isolati sono tutti i numeri naturali eslusi 3, 5 e 6.

Relazione tra punti interni e di accumulazione e tra punti isolati e di frontiera

Osserviamo che

  • tutti i punti interni sono anche punti di accumulazione
  • tutti i punti isolati sono anche punti di frontiera

Il viceversa di queste due affermazioni non vale.

 

Chiamiamo interno di $X$ ($\mathop X\limits^ \circ$), l'insieme di tutti i punti interni a $X$.

Chiamiamo frontiera di $X$ ($FX$), l'insieme di tutti i punti di frontiera di $X$.

Chiamiamo derivato di $X$ ($DX$), l'insieme di tutti i punti di accumulazione per $X$.

Chiamiamo chiusura di $X$ ($\overline{X}$), l'insieme dato da tutti i punti di $X$ e della sua frontiera $FX$. Si può dimostrare che sussiste la seguente relazione:

$$\overline{X}=X\ \cup\ FX=X\ \cup\ DX$$

Diremo che $X$ è un insieme aperto se tutti i punti di $X$ sono interni, ovvero risulta:

$$X=\mathop X\limits^ \circ$$

Diremo che $X$ è un insieme chiuso se l'insieme $X$ coincide con la sua chiusura:

$$X=\overline X\ \Leftrightarrow\ FX\subseteq X\ \Leftrightarrow\ DX\subseteq X$$

Esempio

  • $]2,\pi[$ è un insieme aperto;
  • $[-1,0]\ \cap\ [1,2]$ è un insieme chiuso;
  • $]3,4]$ non è né aperto e né chiuso;
  • L'interno di $]3,4]$ è $]3,4[$; $$\mathop{]3,4]}\limits^ \circ = ]3,4[$$
  • La chiusura di $]3,4]$ è $[3,4]$: $$\overline{]3,4]}=[3,4]$$

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