Forma algebrica e operazioni con i numeri complessi

Viene chiamato numero complesso la somma indicata di un numero reale $a$ con un numero immaginario $bi$; cioè un'espressione del tipo:

$$a+bi$$

Tale espressione viene chiamata forma algebrica del numero complesso.

L'insieme dei numeri complessi è un insieme che contiene sia i numeri reali (quelli con $b=0$) che i numeri immaginari (quelli con $a=0$).

Due numeri complessi si dicono uguali quando sono rispettivamente uguali le parti reali e i coefficienti delle parti immaginarie. Non è invece possibile stabilire tra due numeri complessi delle relazioni di maggiore o di minore. Per un numero complesso non ha di conseguenza luogo la nozione di positivo e negativo.

Due numeri complessi si dicono opposti quando hanno opposti sia le parti reali che i coefficienti delle parti immaginarie. Per esempio, sono opposti i numeri $1-3i$ e $-1+3i$, $-5+i$ e $5-i$, ecc.

Due numeri si dicono complessi coniugati quando hanno uguali le parti reali e opposti i coefficienti delle parti immaginarie. Sono, per esempio, complessi coniugati i numeri $3+2i$ e $3-2i$, $-5+3i$ e $-5-3i$. Il coniugato di un numero complesso $z$ viene usualmente indicato con il simbolo $\overline{z}$.

Operazioni con i numeri complessi

    • La somma (o la differenza) di due numeri complessi è il numero complesso avente per parte reale la somma (o la differenza) delle parti reali degli addendi e per coefficiente della parte immaginaria la somma (o la differenza) dei coefficienti delle parti immaginarie; e cioè: $$(a+bi)+(a'+b'i)=(a+a')+(b+b')i$$ $$(a+bi)-(a'+b'i)=(a-a')+(b-b')i$$

      Calcolo somma e differenza tra numeri complessi

      1. $(3+2i)+(-1+4i)=(3-1)+(2+4)i=2+6i.$
      2. $(2-4i)+(-5+i)+i=(2-5)+(-4+1+1)i=-3-2i.$
      3. $(\sqrt{3}+2i)+(\sqrt{3}-2i)=2\sqrt{3}.$
      4. $(-3+7i)+(3-7i)=0.$
      5. $(4-3i)-(5+7i)=(4-5)+(-3-7)i=-1-10i.$
      6. $(5-2i)-(5+2i)=-4i.$
    • Il prodotto di due numeri complessi è il numero complesso che si ottiene moltiplicando termine a termine i due fattori, ovvero: $$(a+bi)\cdot (a'+b'i)aa'+ab'i+ba'i+bb'i^2=(aa'-bb')+(ab'+ba')i$$

In particolare, il prodotto di due numeri complessi coniugati è un numero reale; infatti:

      $$(a+bi)\cdot (a-bi)=a^2-b^2i^2=a^2+b^2$$

Calcolo prodotto tra numeri complessi

  1. $(2-5i)(-1+2i)=(-2+10)+(4+5)i=8+9i.$
  2. $(-7+i)i=-1-7i.$
  3. $(-5+3i)(-5-3i)=25+9=34.$
    • Due numeri complessi si dicono reciproci quando il loro prodotto è 1. Il reciproco del numero complesso $a+bi$ (con a e b non contemporaneamente nulli) è $\frac{a-bi}{a^2+b^2}$; infatti:
    • $$(a+bi)\cdot \frac{a-bi}{a^2+b^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2}=1$$

In pratica, per determinare il reciproco del numero complesso $a+bi$, lo si scrive sotto la forma frazionaria $\frac{1}{a+bi}$, quindi si moltiplicano numeratore e denominatore per $a-bi$ (cioè per il coniugato di $a+bi$); si ottiene così: $$\frac{1}{a+bi}=\frac{a-bi}{(a+bi)(a-bi)}=\frac{a-bi}{a^2+b^2}$$

Calcolo reciproco di numeri complessi

  1. Reciproco di $7-2i$: $\frac{1}{7-2i}=\frac{7+2i}{49+4}=\frac{7+2i}{53}=\frac{7}{53}+\frac{2}{53}i.$
  2. Reciproco di $-1+2i$: $\frac{1}{-1+2i}=\frac{-1-2i}{1+4}=\frac{-1-2i}{5}=-\frac{1}{5}-\frac{2}{5}i.$
  3. Reciproco di $i$: $\frac{1}{i}=\frac{-i}{1}=-i.$

 

  • Il quoziente di due numeri complessi è il numero complesso che si ottiene moltiplicando il primo per il reciproco del secondo; è cioè:

$$(a+bi):(a'+b'i)=(a+bi)\cdot \frac{a'-b'i}{a'^2+b'^2}=\frac{aa'+bb'}{a'^2+b'^2}+\frac{a'b+ab'}{a'^2+b'^2}i$$

 

Calcolo quoziente tra numeri complessi

  1. $(3+i):(2-i)=(3+i)\cdot\frac{2+i}{4+1}=\frac{6-1}{5}+\frac{3+2}{5}i=1+i.$
  2. $-4i:(1+3i)=-4i\cdot\frac{1-3i}{1+9}=-\frac{12}{10}-\frac{4}{10}i=-\frac{6}{5}-\frac{2}{5}i.$

 

  • La potenza di due numeri complessi avente esponente 2 o 3, viene calcolata mediante le stesse regole che permettono di determinare il quadrato o il cubo di un binomio; è cioè:

$$\begin{array}{l} (a+bi)^2 &=a^2+2abi+b^2i^2=(a^2-b^2)+2abi\\ (a+bi)^3 &=a^3+3a^2bi+3ab^2i^2+b^3i^3=(a^3-3ab^2)+(3a^2b-b^3)i\end{array}$$

Calcolo quadrato o cubo di binomio complesso

  1. $(3+i)^2=9+i^2+6i=9-1+6i=8+6i$
  2. $(1-4i)^3=1+3(-4i)+3(-4i)^2+(-4i)^3=1-12i-48+64i=-47+52i.$

Se invece cerchi come calcolare potenze di numeri complessi con esponente superiore a 3 leggi qui.

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.