Forma trigonometrica

Per esprimere un numero complesso in forma trigonometrica dobbiamo per prima cosa calcolare il suo modulo e il suo argomento.

Modulo e argomento di un numero complesso

Dato un numero complesso $z=a+bi$, indichiamo con $P(a,b)$ e $v=\vec{OP}$ rispettivamente il suo punto immagine e il vettore rappresentativo. Chiamiamo modulo (o valore assoluto) di $z$ la quantità:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}}$$

Mentre, chiamiamo argomento (o anomalia) di $z$ l'angolo $\theta$ tale che valgono:

$$\begin{array}{l} \sin\theta=\frac{b}{r}\\ \cos\theta=\frac{a}{r}\end{array}$$

o equivalentemente:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\tan\theta=\frac{b}{a}}$$

Tali risultati vengono ricavati applicando i teoremi sul triangolo rettangolo $OPH$ secondo cui si ha:

$$a=r\cos\theta,\quad b=r\sin\theta$$

Rappresentazione grafica del modulo e dell'anomalia di un numero complesso

Osserviamo che l'angolo $\theta$ non viene determinato in modo univoco ma a meno di multipli additivi di $2\pi$; si dice argomento principale quello compreso tra $0$ e $2\pi$.

Determinare il numero complesso di modulo $r=2$ e di argomento $\theta=30°$.

Calcoliamo $a$ e $b$ conoscendo le relazioni appena scritte sopra:

$$a=r\cos\theta=2\cos 30°=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$$ $$b=r\cos\theta=2\sin 30°=2\cdot\frac{1}{2}=1$$

Il numero complesso richiesto è pertanto $z=\sqrt{3}+i$.

Esempio

Determinare modulo e argomento del numero complesso $z=-2+2i$.

Dalle formule elencate sopra si ha:

$$r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$$ $$\tan\theta=\frac{b}{a}=-\frac{2}{2}=-1$$

Le soluzioni dell'ultima equazione sono $\theta=-45°+k360°$, ma poichè il numero complesso si trova nel secondo quadrante del piano di Gauss, il valore dell'angolo da scegliere è $\theta=135°$, il quale si trova appunto nel secondo quadrante.

Dato il numero complesso $a+bi$, moltiplicando e dividendolo per il suo modulo $r$ si ottiene la sua forma trigonometrica:

$$a+bi=r(\cos\theta +i\sin\theta)$$

Esempio

Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi usando l'argomento principale.

  1. $z_1=-1+i$
  2. $z_2=\sqrt{3}-i$
  3. $z_3=\sqrt{3}-i$
  4. $z_4=-2-2\sqrt{3}i$
  5. $z_5=-1+i$

$z_1=-1+i$

$$r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$ $$\tan\theta=-1\quad\Rightarrow\quad \theta=135°=\frac{3}{4}\pi$$

Si ha dunque:

$$z_1=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)$$

$z_2=\sqrt{3}-i$

$$r=\sqrt{3+1}=2$$ $$\tan\theta=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\quad\Rightarrow\quad \theta=330°=\frac{11}{6}\pi$$

Si ha dunque:

$$z_2=2\left(\cos\frac{11}{6}\pi+i\sin\frac{11}{6}\pi\right)$$

$z_3=\sqrt{3}-i$

$$r=\sqrt{3+1}=2$$ $$\theta=\arctan\frac{-1}{\sqrt{3}}=\arctan -\frac{\sqrt{3}}{3}=330°,150°$$

L'argomento principale sarà $\theta=330°=\frac{11}{6}\pi$. Dunque:

$$z_3=2\left(\cos\frac{11}{6}\pi+i\sin\frac{11}{6}\pi\right)$$

$z_4=-2-2\sqrt{3}i$

$$r=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{4+12}=4$$ $$\theta=\arctan\frac{b}{a}=\arctan\frac{-2\sqrt{3}}{-2}=\arctan\sqrt{3}=60°,240°$$

Poichè $z_4$ si trova nel terzo quadrante del piano complesso di Gauss, come valore dell'argomento principale dobbiamo scegliere l'angolo che si trova nel terzo quadrante: $\theta=240°=\frac{4}{3}\pi$. Dunque $z_4$ in forma trigonometrica sarà:

$$z_4=4\left(\cos\frac{4}{3}\pi+i\sin\frac{4}{3}\pi\right)$$

$z_5=-1+i$

$$r=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$$ $$\theta=\arctan{1}{-1}=\arctan{-1}=315°,135°$$

Ripetendo lo stesso discorso fatto prima, poichè $z_5$ si trova nel secondo quadrante del piano di Gauss, l'argomento principale è $\theta=135°=\frac{3}{4}\pi$. Dunque possiamo scrivere:

$$z_5=\sqrt{2}\left(\cos\frac{3}{4}\pi+i\sin\frac{3}{4}\pi\right)$$

Potenza n-esima di un numero complesso

Secondo la Formula di De Moivre la potenza n-esima di un numero complesso è un numero complesso che ha per modulo la potenza n-esima del modulo e per argomento il prodotto di n per l'argomento del numero dato.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\left[r(\cos\theta +i\sin\theta)\right]^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta)}$$

Esempio

Calcolare la potenza quarta del numero complesso $z=2(\cos 25°+i\sin 25°)$.

$$z^4=2^4\left[\cos(4\cdot 25°)+i\sin(4\cdot 25°)\right]=16(\cos 100° + i\sin 100°)$$

Radice n-esima di un numero complesso

Chiamasi radice n-esima di un numero complesso $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ ogni numero complesso che elevato ad n dà $z$.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\left[r(\cos\theta +i\sin\theta)\right]^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta)}$$

Le radici n-esime di $z$ sono n:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sqrt[n]{r}\left[\cos\left(\frac{\theta}{n}+\frac{k}{n}360°\right)+i\sin\left(\frac{\theta}{n}+\frac{k}{n}360°\right)\right]}$$

ottenute attribuendo a $k$ i successivi valori $0,1,2,\dots ,(n-1)$.

Infatti, se il numero $\rho(\cos\phi+i\sin\phi)$ è una radice n-esima del numero $r(\cos\theta+i\sin\theta)$, deve essere:

$$\left[\rho(\cos\phi+i\sin\phi)\right]^n=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

ossia

$$\rho^n(\cos n\phi+i\sin n\phi)=r(\cos\theta+i\sin\theta)$$

Affinchè sussista la precedente uguaglianza deve essere:

$$\rho^n=r\quad\mbox{e}\quad n\phi=\theta+k360°$$

e dunque:

$$\rho=\sqrt[n]{r}\quad\mbox{e}\quad\phi=\frac{\theta}{n}+\frac{k}{n}360°$$

Esempio

Trovare le radici cubiche del numero complesso $z=27(\cos 60°+i\sin 60°)$.

Le tre radici cubiche sono contenute nella formula:

$$\begin{array}{l}\sqrt[3]{27}\left[\cos\left(\frac{60}{3}+\frac{k}{3}360°\right)+i\sin\left(\frac{60}{3}+\frac{k}{3}360°\right)\right]=\\ =3[\cos (20°+k120°)+i\sin (20°+k120°)]\end{array}$$

e si ottengono ponendo successivamente $k=0,1,2$.

  1. Per $k=0$ si ha $z_0=3(\cos 20°+i\sin 20°)$
  2. Per $k=1$ si ha $z_1=3(\cos 140°+i\sin 140°)$
  3. Per $k=2$ si ha $z_2=3(\cos 260°+i\sin 260°)$

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