Le radici n-esime dell'unità

Il sistema delle radici n-esime dell'unità assume una certa importanza e gode di particolari proprietà. Indicando con il simbolo $\omega_k$ (leggi omega con k), la k-esima radice n-esima dell'unità, possiamo esprimerla nella forma trigonometrica:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\omega_k=\sqrt[n]{1}=\cos\frac{k}{n}360°+i\sin\frac{k}{n}360°}$$

con $k=0,1,2,\dots ,n-1$. Come le radici n-esime di un numero complesso, anche le radici n-esime dell'unità sono in tutto n, in particolare $\omega_0,\ \omega_1,\ \omega_2,\dots,\ \omega_{n-1}$.

Proprietà delle radici n-esime dell'unità

Consideriamo la radice n-esima dell'unità corrispondente al valore $k=1$ e chiamiamola semplicemente $\omega$:

$$\omega=\cos\frac{360°}{n}+i\sin\frac{360°}{n}$$

Possiamo constatare che tutto il sistema delle radici n-esime $\omega_0,\ \omega_1,\ \omega_2,\dots,\ \omega_{n-1}$, può scriversi come successione delle potenze k-esime di $\omega$, con esponente $k=0,1,2,\dots ,n-1$:

$$\omega_0=\omega^0,\ \omega_1=\omega^1,\ \omega_2=\omega^2,\dots ,\omega_{n-1}=\omega^{n-1}$$

Per esempio, nel caso delle radici quinte dell'unità, si ha:

$$\omega=\cos\frac{360°}{5}+i\sin\frac{360°}{5}=\cos 72°+i\sin 72°$$

e anche:

$$\begin{array}{l} \omega_0 &=\omega^0=\cos (0\cdot 72°)+i\sin (0\cdot 72°)=\cos 0°+i\sin 0°\\ \omega_1 &=\omega^1=\cos (1\cdot 72°)+i\sin (1\cdot 72°)=\cos 72°+i\sin 72°\\ \omega_2 &=\omega^2=\cos (2\cdot 72°)+i\sin (2\cdot 72°)=\cos 144°+i\sin 144°\\ \omega_3 &=\omega^3=\cos (3\cdot 72°)+i\sin (3\cdot 72°)=\cos 216°+i\sin 216°\\ \omega_4 &=\omega^4=\cos (4\cdot 72°)+i\sin (4\cdot 72°)=\cos 288°+i\sin 288°\end{array}$$

Due altre proprietà delle radici n-esime dell'unità sono le seguenti:

  • Ogni potenza $(\omega_k)^m$ di una radice m-esima dell'unità è anch'essa una radice n-esima dell'unità. Infatti: $$[(\omega_k)^m]^n=[(\omega_k)^n]^m=1^m=1$$
  • Ogni radice n-esima dell'unità è anche radice m-esima dell'unità per ogni $m$ multiplo di $n$. Infatti, per ogni $m=hn$ (con $h$ numero naturale) deriva che: $$(\omega_k)^m=(\omega_k)^{hn}=[(\omega_k)^n]^h=1^h=1$$

Esempio

Verificare che la potenza settima della radice quinta dell'unità corrispondente a $k=2$ è anch'essa una radice quinta dell'unità.

$$\begin{array}{l}(\omega_2)^7 &=(\cos 144°+i\sin 144°)^7=\cos 1008°+i\sin 1008°=\\ &=\cos 288°+i\sin 288°=\omega_4\end{array}$$

Esempio

Verificare che la radice settima ($n=7$) dell'unità corrispondente a $k=3$ è anche una radice quattordicesima ($m=2\cdot 7=2n$) dell'unità.

$$\begin{array}{l}\omega_3 &=\cos\left(3\cdot\frac{360°}{7}\right)+i\sin\left(3\cdot\frac{360°}{7}\right)=\\ &=\cos\left(6\cdot\frac{360°}{14}\right)+i\sin\left(6\cdot\frac{360°}{14}\right)=\omega_{6}\end{array}$$

Cioè la radice settima dell'unità corrispondente a $k=3$ equivale alla radice quattordicesima dell'unità corrispondente a $k=6$.

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