Alcune serie notevoli

Serie geometrica di ragione $q$

La serie geometrica di ragione $q$ è la seguente:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sum\limits_{n=1}^{+\infty}q^{n-1}=\sum\limits_{n=0}^{+\infty}q^{n}}$$

Il comportamento della serie geometrica cambia al variare della ragione $q$, infatti:

    1. se $-1 < q < 1\quad\Rightarrow\quad$ la serie converge con somma $S=\frac{1}{1-q}$;
    2. se $q\ge 1\quad\Rightarrow\quad$ la serie diverge a $+\infty$;
    3. se $q\le -1\quad\Rightarrow\quad$ la serie oscilla.

Serie di Mengoli

La serie di Mengoli è definita come:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n(n+1)}}$$

Analizziamo l'andamento della serie scrivendone la somma:

      $$\begin{array}{l} S&=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\dots+\frac{1}{n(n+1)}+\dots=\\ &=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\dots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)+\dots=1\end{array}$$

Riscrivendo la somma, come fatto nel secondo passaggio, si osserva che tutti i termini della serie a partire dal secondo, si elidono a vicenda, per cui, l'unico termine che rimane è il primo ovvero 1. Dunque, la somma della serie è 1.

Consulta gli esercizi svolti sulle serie numeriche

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