Criterio di condensazione di Cauchy

Data la serie a termini non negativi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ con $a_n$ non crescente ($a_n\ge a_{n+1}\ \forall n\in\mathbb N)si ha che

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n\quad\mbox{è convergente}\quad\Leftrightarrow\quad\sum\limits_{n=0}^{+\infty} 2^n\cdot a_{2^n}\quad\mbox{è convergente} $$

Questo significa che, se il termine generale $a_n$ rappresenta una successione non crescente, studiare la serie $\sum\limits_{n=1}^{+\infty} a_n$ è equivalente a studiare $\sum\limits_{n=0}^{+\infty} 2^n\cdot a_{2^n}$.

Precisiamo che il termine $a_{2^n}$ è il termine che si ottiene da $a_n$ sostituendo $2^n$ al posto di $n$.

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