Serie a segni alterni e oscillanti

Una serie numerica $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ si dice assolutamente convergente se la serie $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}|a_n|$ è convergente.

Studio del carattere di una serie a segni alterni

Il concetto di assoluta convergenza di una serie è importante quando ci troviamo di fronte ad una serie numerica a segni alterni del tipo:

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n\quad a_n\ge 0\ \forall n\in\mathbb N$$

In questi casi, infatti, possiamo studiarne il carattere scegliendo una delle seguente due strade:

  1. a) studiando l'assoluta convergenza della serie;
  2. b) applicando il criterio di Leibniz.

Il punto a) consiste nello studiare il carattere della serie $$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\left|(-1)^n a_n\right|=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$$

Per quello detto riguardo l'assoluta convergenza, se la serie appena scritta è convergente, lo sarà anche la serie a segni alterni, ovvero $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n$.

Criterio di Leibniz

Se il metodo a) fallisce, ovvero la serie data non è assolutamente convergente, passiamo al metodo b), ovvero verifichiamo le ipotesi del teorema di Leibniz.

Sia $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n\quad a_n\ge 0\ \forall n\in\mathbb N$ una serie numerica a segni alterni. Tale serie converge se sono verificate le seguenti due ipotesi:

  1. $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n=0$;
  2. $a_n > a_{n+1}\ \forall n\in\mathbb N$ ($a_n$ monotona decrescente).

Inoltre, se la serie converge, denotato con $S$ la somma della serie e con $S_n$ la somma parziale dei primi n termini della serie, si ha:

$$|S-S_n|\le a_{n+1}$$

Teorema per le serie oscillanti

Sia $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}(-1)^n a_n\quad a_n\ge 0\ \forall n\in\mathbb N$ una serie numerica a segni alterni. Tale serie oscilla se sono verificate le seguenti due ipotesi:

  1. $\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\neq 0$;
  2. $a_n$ monotona (crescente o decrescente).

Consulta gli esercizi svolti sulle serie a segni alterni e oscillanti

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.