Serie armonica generalizzata e criterio del confronto

La serie armonica è una serie a termini non negativi divergente. Essa è:

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n}$$

Serie armonica generalizzata

La serie appena esposta si può generalizzare se eleviamo il termine generale a un certo esponente $p$: si definisce, così la serie armonica generalizzata:

$$\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^p}$$

Anche in questo caso, è noto il suo carattere al variare dell'esponente $p$:

  1. se $p > 1$ la serie converge;
  2. se $p \le 1$ la serie diverge;

Grazie a questo possiamo dire per esempio che $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}$ è divergente (poichè $p=1/2\le 1$) oppure che $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n2}$ è convergente (poichè ($p=2>1$).

Criterio del confronto

La conoscenza del carattere di una serie numerica è molto spesso utile per determinarne il carattere di un'altra. Per far ciò, ci serviamo del cosiddetto criterio del confronto con la serie armonica generalizzata.

Siano date due serie numeriche a termini non negativi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ e $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$. Allora si ha:

  1. se $a_n\le b_n\ \forall n\in\mathbb N$ e $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$ è convergente $\quad \Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è pure convergente;
  2. se $a_n\ge b_n\ \forall n\in\mathbb N$ e $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}b_n$ è divergente $\quad \Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è pure divergente.

Criterio del confronto generalizzato o asintotico

Non sempre, però, due serie possono essere messe a confronto, cioè non sempre è facile stabilire se tutti i termini di una prima serie risultano minori o maggiori di una seconda serie (in sostanza affermare la veridicità delle ipotesi $a_n\le b_n$ oppure $a_n\ge b_n$). In questi casi risulta più semplice utilizzare il criterio del confronto generalizzato:

date la serie numeriche a termini non negativi $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ si ha che:

  1. se $\exists\ p>1:\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\cdot n^p < +\infty\quad \Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è convergente;
  2. se $\exists\ p\le 1:\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}a_n\cdot n^p\in ]0,+\infty]\quad \Rightarrow\quad \sum\limits_{n=1}^{+\infty}a_n$ è divergente.

Consulta altri esercizi svolti sul criterio del confronto con serie armonica

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