Lo studio del grafico della derivata prima

Date alcune ipotesi sulla $f$ e supposto che il grafico di $f'$ (noto) sia composto da funzioni costanti, segmenti passanti per punti noti o da parabole, possiamo risalire al grafico della $f$. Talvolta, però, possiamo ricavare più velocemente certe informazioni specifiche sulla $f$ quali:

  1. Limitatezza o illimitatezza
  2. Monotonia (crescenza o decrescenza)
  3. Punti critici
  4. Massimi e minimi relativi
  5. Massimi e minimi assoluti
  6. Punti angolosi
  7. Cuspidi
  8. Punti a tangente verticale
  9. Convessità e concavità
  10. Punti di flesso
  11. Simmetria rispetto all'asse $\overrightarrow{y}$

 

$f$ limitata o illimitata

Banalmente, diremo che per verificare se una $f$ è limitata o no basta controllare se la $f'$ è limitata o no. Ad esempio, nel grafico della derivata prima qui in basso, possiamo dire che la $f$ è sicuramente limitata superiormente ma non inferiormente dato che lo è la sua $f'$.

Grafico derivata prima limitato superiormente e illimitato inferiormente

 

$f$ crescente o decrescente

I punti in cui la $f$ è crescente sono quelli in cui la $f'>0$, viceversa la $f$ è decrescente nei punti in cui $f'<0$. Questo è vero grazie alle condizioni sufficienti per la monotonia di una funzione.

 

Punti critici

Ricordiamo che i punti critici sono quei punti in cui $f'$ si annulla. Ad esempio, data $f':\mathbb R\rightarrow\mathbb R$ il cui grafico è il seguente

Grafico della derivata prima del 27-01-2014

osserviamo che $x=0$ è un punto critico per $f$ poichè la derivata prima vale 0 nel punto $x=0$.

 

Massimi e minimi relativi

Massimi e minimi relativi della $f$ possono essere identificati come quei punti in cui la $f'$ cambia segno in modo continuo, o più semplicemente i punti di intersezione con l'asse $\overrightarrow{x}$. Per capirlo, guardiamo il grafico di $f':\mathbb R\ \{-1,1\}\rightarrow\mathbb R$ graficata qui in basso:

Grafico della derivata prima del 02-07-2013

Notiamo che $f'$ attraversa l'asse $\overrightarrow{x}$ passando per $x=0$. In questo caso, quindi, il punto $x=0$ è un estremo relativo. Poichè, $f'(x)<0$ per $x<0$ e $f'(x)>0$ per $x>0$ (o analogamente da negativa diventa positiva), possiamo affermare che $x=0$ è un minimo relativo.

Se invece, la derivata prima intersecasse l'asse $\overrightarrow{x}$ cambiando segno da positivo a negativo, ci sarebbe stato un punto di massimo relativo in corrispondenza dell'intersezione.

 

Massimi e minimi assoluti

Per capire se ci sono massimi (o minimi) assoluti dal grafico della $f'$ bisogna innanzitutto verificare che la $f$ è limitata superiormente (o inferiormente); poi, bisogna scrivere l'espressione analitica di $f'$ per ricavarsi le primitive di $f$. Dalle primitive di $f$ si può abbozzare un grafico e da qui capire se ci sono massimi o minimi assoluti.

Ad esempio nel grafico precedente della $f'$, supposto che $f$ è continua in tutto $\mathbb R$, ci sono due punti di massimo assoluti. Infatti, l'espressione analitica della $f'$ è:

$$\begin{cases} 2&\mbox{se }x<-1\\ 2x&\mbox{se }-1<x<1\\ -2&\mbox{se }x>1\end{cases}$$

da cui possiamo ricavarci le sue primitive per ognuno dei tre intervalli:

$$\begin{cases} 2x+k&\mbox{se }x<-1\\ x^2+q&\mbox{se }-1<x<1\\ -2x+h&\mbox{se }x>1\end{cases}\quad\mbox{con }k,q,h\in\mathbb R$$

Poichè, per ipotesi la $f$ è continua, i limiti destro e sinistro nei punti $x=-1$ e $x=1$ devono coincidere:

$$\lim\limits_{x\rightarrow-1^-}2x+k=-2+k=\lim\limits_{x\rightarrow-1^+}x^2+q=1+q$$ $$\lim\limits_{x\rightarrow 1^-}x^2+q=1+q=\lim\limits_{x\rightarrow 1^+}-2x+h=-2+h$$

Deve essere, quindi, soddisfatto il seguente sistema:

$$\begin{cases} -2+k=1+q\\ 1+q=-2+h\end{cases}$$

ovvero quando $h=k$ e $k=3+q$. In tal modo la $f$ può essere riscritta come segue:

$$\begin{cases} 2x+3+q&\mbox{se }x<-1\\ x^2+q&\mbox{se }-1<x<1\\ -2x+3+q&\mbox{se }x>1\end{cases}\quad\mbox{con }q\in\mathbb R$$

e il suo grafico (a meno dell'incognita $q$) è il seguente:

grafico di funzione a partire dal grafico della derivata

Adesso possiamo ben vedere che la funzione è limitata superiormente e presenta due punti di massimo assoluto. Nota che non abbiamo graficato l'asse $\vec{x}$ poichè il grafico si trasla verso il basso o verso l'alto a seconda che il parametro $q$ diminuisca o aumenti.

 

Punti angolosi

Ricordiamo che i punti angolosi sono quei punti in corrispondenza dei quali derivata destra e sinistra sono finite (oppure una infinita e l'altra infinita) e non coincidono. Più precisamente se $x_0$ è un punto angoloso si ha

$$f'_-(x_0)\neq f'_+(x_0)$$

Da quanto detto, si capisce che un punto angoloso è un punto di discontinuità di prima o seconda specie per la $f'$. Per capirlo meglio guardiamo il grafico della derivata prima qui di seguito:

grafico derivata prima del compito di matematica generale del 05/07/2014

Si può vedere che il grafico della derivata prima presenta un punto di discontinuità in $x=0$. Questo vuol dire che la $f$ ha un punto angoloso per $x=0$

 

Cuspidi

Ricordiamo che le cuspidi sono quei punti in corrispondenza dei quali derivata destra e sinistra sono una $+\infty$ e l'altra $-\infty$.

Ma come individuare le cuspidi di una $f$ dal grafico della derivata prima? Semplice! Basta andare a prendere quei punti del grafico di $f'$ in cui il limite destro vale $+\infty$ e quello sinistro vale $-\infty$ o viceversa.

 

Punti a tangente verticale

I punti a tangente verticale sono quei punti in corrispondenza dei quali le derivate destra e sinistra sono infinite e valgono entrambi o $+\infty$ o $-\infty$.

 

Studio della concavità di $f$ dal grafico di $f'$

Dalle condizioni necessarie e sufficienti per la concavità (o convessità) di una funzione segue che i punti in cui la $f'$ è non decrescente sono quelli in cui la derivata seconda è positiva, ovvero quei punti in cui la $f$ è convessa.

Viceversa, i punti in cui la $f'$ è non crescente, sono quelli in cui la derivata seconda è positiva e quindi la $f$ è concava.

Ad esempio, osserviamo il seguente grafico di derivata:

Studio della monotonia della funzione dal grafico della sua derivata 5-07-2014

La $f'$ è non decrescente in $]-\infty,0[$ e non crescente in $]0,+\infty[$; da ciò segue che la $f$ è convessa in $]-\infty,0[$ e concava in $]0,+\infty[$.

 

Ricerca di punti di flesso di $f$ dal grafico di $f'$

Sappiamo dalla teoria che un punto di flesso per una $f$ è un punto in corrispondenza dei quale la derivata seconda cambia segno. Inoltre, in tale punto, la derivata prima si annulla e risulta essere crescente in un intervallo destro del punto e decrescente in uno sinistro o viceversa.

 

Verificare se $f$ è simmetrica rispetto all'asse $\overrightarrow{y}$

L'unico modo per verificare se $f$ è pari conoscendo il grafico della derivata prima è trovarsi l'espressione analitica di $f$ calcolando le primitive della $f'$ così come fatto per la ricerca dei massimi e minimi assoluti.

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