Limiti e asintoti

Il calcolo dei limiti serve per studiare il comportamento della funzione in prossimità dei suoi punti di discontinuità (se ne esistono) e per $x\rightarrow +\infty$ (se il dominio non è limitato a destra) e per $x\rightarrow -\infty$ (se il dominio non è limitato a sinistra).

In particolare, per i punti di discontinuità bisogna calcolare entrambi i limiti destro e sinistro.

Questi calcoli permettono, inoltre, di determinare gli asintoti verticali, orizzontali o obliqui della funzione.

Determinazione degli asintoti verticali

Eventuali asintoti verticali possono essere trovati calcolando i limiti destro e/o sinistro per $x\rightarrow x_0$ con $x_0$ punto di discontinuità della funzione. Se ALMENO UNO di questi due limiti risulta $+\infty$ o $-\infty$, diremo che la retta verticale $x=x_0$ è un asintoto verticale per la funzione in esame.

Esempio di calcolo di asintoti verticali

Ad esempio indaghiamo sulla presenza di asintoti verticali della funzione $f(x)=\frac{x^2-x+4}{2x-1}$.

Come visto qui, tale funzione ha un punto di discontinuità in $x=\frac{1}{2}$, per cui, è necessario calcolare il limite destro:

$$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{1}{2}^+}f(x)=\frac{x^2-x+4}{2x-1}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}+4}{2\cdot\frac{1}{2}^+-1}=\frac{\frac{15}{4}}{0^+}=+\infty$$

e il limite sinistro:

$$\lim\limits_{x\rightarrow\frac{1}{2}^-}f(x)=\frac{x^2-x+4}{2x-1}=\frac{\left(\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{2}+4}{2\cdot\frac{1}{2}^--1}=\frac{\frac{15}{4}}{0^-}=-\infty$$

Poichè tali limiti risultano infinito, posso dire che la retta $x=\frac{1}{2}$ è un asintoto verticale.

Nel grafico sottostante vengono evidenziati con due tratti blu il comportamento della funzione in prossimità dell'asintoto verticale.

Asintoti verticali di una funzione fratta

Determinazione degli asintoti orizzontali o obliqui

Eventuali asintoti orizzontali possono essere trovati calcolando i limiti per $x\rightarrow +\infty$ e per $x\rightarrow -\infty$. Se risulta

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}f(x)=y_0\quad\mbox{con $y_0$ numero finito}$$

diremo che $y=y_0$ è un asintoto orizzontale.

Analogamente se risulta

$$\lim\limits_{x\rightarrow -\infty}f(x)=y_1\quad\mbox{con $y_1$ numero finito}$$

diremo che $y=y_1$ è un asintoto orizzontale.

Esempio di calcolo di asintoti orizzontali

Ad esempio verifichiamo che la funzione $f(x)=\frac{\log 2x +1}{x}$ ha un asintoto orizzontale.

Come visto qui, tale funzione ha è definita solo per $x>0$, per cui calcoliamo soltanto:

$$\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{\log 2x +1}{x}=0$$

Infatti, avendo al denominatore un infinito di ordine superiore ($x$ batte la funzione $\log$), la frazione tende a $0$ per x tendente a $+\infty$.

Per quanto detto sopra, $y=0$ (ovvero l'asse $y$) è asintoto orizzontale e qui di seguito possiamo tracciare il solito tratto blu di funzione che segue tale asintoto per valori di $x$ molto grandi.

Asintoto orizzontale di una funzione logaritmica

Se non vi fossero asintoti orizzontali, ovvero se i limiti di cui sopra non risultassero finiti ma $\pm\infty$, potrebbero esistere gli asintoti obliqui che in tal caso si presenterebbero nella forma:

$$y=mx+q$$

dove $m$ e $q$ si calcolano come segue:

$$m=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{f(x)}{x}\quad\mbox{(diverso da $0$ o $\infty$)}$$ $$q=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[f(x)-mx]\quad\mbox{(diverso da $\infty$)}$$

Esempio di calcolo di asintoti obliqui

Verificare che la funzione $\frac{{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}}{x}$ ha un asintoto obliquo.

Innanzitutto osserviamo che tale funzione non ha asintoti orizzontali perchè

$$\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}=\left[-\infty\cdot e^1\right]=\pm\infty$$

Procediamo con il calcolo di $m$ e $q$:

$m=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{{(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}}}{x}=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\frac{x+1}{x}e^{\frac{x}{x-1}}=1\cdot e=e$

$\begin{array}{l} q &=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[(x+1)e^{\frac{x}{x-1}}-ex\right]=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[x\left(e^{\frac{x}{x-1}}-e\right)+e^{\frac{x}{x-1}}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[x\left(\frac{e^x}{e^{x-1}}-e\right)+e^{\frac{x}{x-1}}\right]=\\ &=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[x\left(\frac{e^x-e^x}{e^{x-1}}\right)+e^{\frac{x}{x-1}}\right]=\lim\limits_{x\rightarrow \pm\infty}\left[e^{\frac{x}{x-1}}\right]=e\end{array}$

Quindi l'asintoto obliquo è $y=ex+e$

Per graficarlo dobbiamo trovare due punti del piano per cui passa (ad esempio facendo le sue intersezioni con gli assi) e tracciare quindi la retta che li congiunge.

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