Punti di flesso

Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione e sia $x_0\in (a,b)$ un punto per cui passa la tangente al grafico di $f$. Si dice che $x_0$ è un punto di flesso per $f$ se la tangente suddetta attraversa il grafico di $f$.

Punti di flesso di una funzione

In sostanza, un punto di flesso è un punto in corrispondenza del quale la funzione cambia concavità (dal basso verso l'alto o dall'alto verso il basso).

C.N. affinchè una $f$ presenti un punto di flesso

Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione e sia $x_0\in (a,b)$. Se $x_0$ è un punto di flesso e $f''(x)$ è continua in $x_0$ si ha:

$$f''(x_0)=0$$

Il viceversa di questo risultato non vale in generale, nel senso che esistono funzioni la cui derivata seconda si annulla in qualche punto $x_0$ che però non è un punto di flesso.

Controesempio per la C.N. sulla derivata seconda nulla

La funzione $f(x)=x^4$ ha derivata seconda nulla in $x_0=0$, infatti:

$$f'(x)=4x^3,\quad f''(x)=12x^2\quad\Rightarrow\quad f''(0)=0$$

Ma, $x_0=0$ non è un punto di flesso per la funzione, bensì un punto di minimo relativo.

C.S. affinchè $f$ abbia punti di flesso

I seguenti risultati, danno invece delle condizioni sufficienti affinchè $f$ abbia dei punti di flesso. Tali condizioni sono confrontabili con le condizioni sufficienti per l'esistenza dei min e dei max relativi.

Teorema 1

Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ una funzione e sia $x_0$ un punto interno ad $(a,b)$ tale che $\exists\ f''(x)\forall x \in I(x_0)$. Si ha:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f''(x)\left.\begin{array}{l} > 0\quad \forall x \in I_+(x_0)\\ = 0\quad \mbox{per } x=x_0\\ < 0\quad \forall x \in I_-(x_0)\end{array}\right\}\Rightarrow\quad x_0 \mbox{ punto di flesso per $f$}}$$ oppure $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{f''(x)\left.\begin{array}{l} < 0\quad \forall x \in I_+(x_0)\\ = 0\quad \mbox{per } x=x_0\\ > 0\quad \forall x \in I_-(x_0)\end{array}\right\}\Rightarrow\quad x_0 \mbox{ punto di flesso per $f$}}$$

Teorema 2

Sia $f:(a,b)\rightarrow\mathbb R$ derivabile $n$ volte e sia $x_0\in (a,b)$ tale che $f''(x_0)=f'''(x_0)=\dots=f^{(n-1)}(x_0)=0$ e $f^{(n)}(x_0)\neq 0$, allora:

  1. se $n$ dispari $\Rightarrow\quad x_0$ punto di flesso per $f$
  2. se $n$ pari e $f^{(n)}(x_0)>0\quad\Rightarrow\quad f$ convessa in un intorno di $x_0$
  3. se $n$ pari e $f^{(n)}(x_0)<0\quad\Rightarrow\quad f$ concava in un intorno di $x_0$

Breve schema per la ricerca dei punti di flesso di una funzione

Eventuali punti di flesso di una funzione possono essere cercati tra i seguenti:

  1. punti a tangente non verticale, ovvero quei punti $x_0$ che risultano di minimo o di massimo relativo per $f'$.
  2. a tangente verticale, ovvero quei punti $x_0$ in cui la $f$ è continua e $f'(x_0)=\pm\infty$

Esempio sulla ricerca di punti di flesso di una funzione

Trovare, se ne esistono, i punti di flesso della seguente funzione:

$$f(x)=e^x(x^2-2x-2)$$

La funzione data è definita in tutto $\mathbb R$, per cui basta calcolare la derivata seconda e verificare per quali valori di $x$ si annulla.

$$f'(x)=e^x(x^2-2x-2)+e^x(2x-2)=e^x(x^2-2x-2+2x-2)=e^x(x^2-4)$$ $$f''(x)=e^x(x^2-4)+e^x\cdot 2x=e^x(x^2+2x-4)$$

I punti di flesso si determinano risolvendo l'equazione $f''(x)=0$$.

$$e^x(x^2+2x-4)=0\quad\Leftrightarrow\quad x^2+2x-4=0\quad\Leftrightarrow\quad x=-1\pm\sqrt{5}$$

Essendo la funzione continua in tutto $\mathbb R$ possiamo dire che $x=-1+\sqrt{5}$ e $x=-1-\sqrt{5}$ sono punti di flesso per la funzione.

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