Il prodotto scalare e vettoriale

Molti degli argomenti più avanzi della fisica richiedono la conoscenza del prodotto tra vettori. In questo articolo studieremo il prodotto scalare tra due vettori e il prodotto vettoriale.  

Il prodotto scalare

Il prodotto scalare tra due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è uno scalare (cioè un numero) uguale al prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell'angolo tra essi compreso.

 

prodotto scalare tra vettori

 

In riferimento alla figura sopra, poichè il prodotto tra $\vec{b} \cdot cos(\alpha)$ è la proiezione del vettore $\vec{b}$ su $\vec{a}$, possiamo definire in modo equivalente il prodotto scalare tra vettori nel seguente modo:

Il prodotto scalare tra due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è uno scalare (cioè un numero) uguale al prodotto del modulo di uno dei due vettori per il modulo della proiezione dell'altro vettore sul primo.
 
Osserviamo, infatti, che se consideriamo il triangolo rettangolo di ipotenusa $\vec{b}$, il prodotto tra l'ipotenusa e il coseno dell'angolo $\alpha$ è proprio il cateto (in figura il vettore proiezione).
Notiamo, infine, che se l'angolo compreso tra i due vettori è $\alpha = 90°$ il prodotto scalare tra i due vettori è zero in quanto il coseno di $90°$ è nullo. 
 

Il prodotto vettoriale

>Il prodotto vettoriale tra due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$ è un vettore (che possiamo chiamare arbitrariamente $\vec{c} = \vec{a} \times \vec{b}$) che ha:
  1. modulo pari al prodotto dei moduli dei due vettori per il seno dell'angolo tra essi compreso (ovvero pari all'area del parallelogramma formato dai due vettori);
  2. direzione perpendicolare al piano individuato dai due vettori $\vec{a}$ e $\vec{b}$;
  3. verso determinato dalla regola della mano destra: chiudere con la mano destra il primo vettore di cui si sta facendo il prodotto vettoriale sul secondo (secondo l'angolo minore) e il verso del pollice vi dirà se il verso è entrante nel piano o uscente da esso. 

 

prodotto vettoriale di due vettori

 

Osserviamo, infine, che il prodotto scalare gode della proprietà commutativa, mentre il prodotto vettoriale no. 

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