Fascio di rette

Un fascio di rette è un insieme infinito di rette ciascuna delle quali si ottiene per uno specifico valore di un parametro $k$.

Esistono due tipi di fasci di rette:

  • fascio di rette proprio: tutte le rette del fascio passano per un punto fisso $P$ detto sostegno del fascio;
  • fascio di rette improprio: le rette sono parallele tra di loro e non esiste il sostegno.

Fascio di rette proprio e improprio

Fascio di rette proprio

Ad esempio, l'equazione parametrica $$3x+5ky-3k+1=0$$ rappresenta l'equazione di un fascio di rette proprio, il cui coefficiente angolare della generica retta del fascio è $$m_k=-\frac{3}{5k}$$

Questo vuol dire che al variare di k, si ottiene una specifica retta del fascio: per esempio, per $k=0$ otteniamo la retta $3x+1=0$, mentre per k=1 otteniamo $3x+5y-2=0$.

E' possibile inoltre conoscere il sostegno del fascio intersecando due sue rette qualsiasi. Prendendo le rette appena trovate, otteniamo: $$\begin{cases} 3x+1=0\\ 3x+5y-2=0\end{cases} \ \Rightarrow\ \begin{cases} x=-\frac{1}{3}\\ y=\frac{3}{5}\end{cases}$$

Dunque, il sostegno del fascio è $P=\left(-\frac{1}{3},\frac{3}{5}\right)$.

Fascio di rette improprio

Per rappresentare un fascio di rette improprio basta considerare una generica equazione della retta in forma esplicita la cui unica parte che varia al variare del parametro $k$ è l'intercetta o termine noto, ad esempio: $$y=2x+k$$

Infatti, tale equazione definisce l'insieme infinito delle rette parallele con coefficiente angolare 2 e valore dell'intercetta variabile al variare di $k$.

Equazione del fascio di rette generato da due rette date

Alcune volte, negli esercizi di matematica o nei compiti in classe viene chiesto di risolvere un problema inverso: trovare l'equazione del fascio di rette che contiene due rette già date.

Date due rette $ax+by+c=0$ e $a'x+b'y+c'=0$, l'equazione del fascio di rette ad esso appartenenti è dato da: $$A(ax+by+c)+B(a'x+b'y+c')=0\quad\blacksquare$$ dove A e B sono due numeri al variare dei quali si ottiene una retta del fascio sempre diversa.

Esempio

Date le rette $x+y+1=0$ e $3x+2y+4=0$, determinare l'equazione del fascio che le contiene (o il fascio generato dalla due rette).

Dalla $\blacksquare$, dividendo per $A$ otteniamo: $$\begin{array}{l} A(x+y+1)+B(3x+2y+4)=0\\ (x+y+1)+\frac{B}{A}(3x+2y+4)=0\end{array}$$

Sostituendo $k=\frac{B}{A}$ e semplificando, otteniamo l'equazione del fascio richiesta: $$\begin{array}{l} (x+y+1)+k(3x+2y+4)=0\\ x+y+1+3kx+2ky+4k\\ (1+3k)x+(1+2k)y+1+4k=0\end{array}$$

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