Funzione omografica

Chiamasi funzione omografica una funzione che si può esprimere nella forma:

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{y=\frac{ax+b}{cx+d}\quad\quad\mbox{con}\quad a,\ b,\ c,\ d\in\mathbb R}$$

funzione omografica

A seconda dei valori delle costanti $a,\ b,\ c,\ \mbox{e}\ d$ si ottengono i seguenti luoghi geometrici:

  1. Se $c=0$ otteniamo $y=\frac{a}{d}x+\frac{b}{d}$ che è l'equazione di una retta in forma esplicita.
  2. Se $ad=bc$ si ottiene $y=\frac{a}{c}$ che è l'equazione di una retta orizzontale (parallela all'asse delle $x$).
  3. Se $c\neq 0$ e $ad\neq bc$ siamo in presenza di un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi cartesiani ma non coincidenti con essi.

Iperbole equilatera come grafico della funzione omografica

Mettiamoci nelle condizioni del caso 3) appena visto. Le equazioni degli asintoti dell'iperbole sono dati da:

$$y=\frac{a}{c}\quad\quad x=-\frac{d}{c}$$

mentre le equazioni degli assi di simmetria dell'iperbole sono:

$$y-\frac{a}{c}=\pm\left(x+\frac{d}{c}\right)$$

Il centro di simmetria ha coordinate:

$$C\left(-\frac{d}{c},\frac{a}{c}\right)$$

Inoltre, sapendo che

$$k=\left|\frac{ad-bc}{c^2}\right|$$

possiamo ricavarci i vertici dell'iperbole:

$$V_1\left(-\frac{d}{c}+\sqrt{k},\ \frac{a}{c}+\sqrt{k}\right)\quad\quad V_2\left(-\frac{d}{c}-\sqrt{k},\ \frac{a}{c}-\sqrt{k}\right)$$

e i fuochi dell'iperbole:

$$F_1\left(-\frac{d}{c}+\sqrt{2k},\ \frac{a}{c}+\sqrt{2k}\right)\quad\quad F_2\left(-\frac{d}{c}-\sqrt{2k},\ \frac{a}{c}-\sqrt{2k}\right)$$

Vai agli esercizi svolti

Questo sito usa i cookies per fornirti una migliore esperienza di navigazione. Prendi visione della privacy policy e clicca su "Accetta" per proseguire.