La circonferenza

Iniziamo col dare la definizione di circonferenza come luogo geometrico.

La circonferenza è il luogo dei punti equidistanti $r$ (detto raggio) da un punto chiamato centro della circonferenza. Una circonferenza è univocamente definita assegnando quindi le coordinate del centro e la lunghezza del suo raggio come mostra la figura sottostante:

Definizione di circonferenza come luogo geometrico

Guardando la figura, notiamo che la distanza di qualsiasi punto della circonferenza ($P_1$, $P_2$, $P_3$, ecc.) dal centro $C$ è costante e pari al raggio $r$.

L'equazione della circonferenza si può rappresentare in due forme:

  • Equazione standard ($(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2$)
  • Equazione canonica ($x^2+y^2+ax+by+c=0$) 

Trattiamo dapprima quella più comune, ossia la forma standard, che permette di individuare immediatamente le coordinate del centro e il raggio della circonferenza.

Equazione standard della circonferenza

Leggiamo l'equazione standard della circonferenza comprendendone gli elementi che compaiono: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{(x-x_c)^2+(y-y_c)^2=r^2}$$

I termini $x_c$ e $y_c$ sono le coordinate del centro $C=(x_c,y_c)$, mentre la quantità $r$ sta ad indicare la lunghezza del raggio come mostra la figura sottostante.

Grafico di una circonferenza dati centro e raggio

Considerando tale equazione, possiamo sia graficare la circonferenza dati centro e raggio che risolvere il problema inverso, ovvero quello di calcolare le coordinate del centro e la lunghezza del raggio data l'equazione della circonferenza.

Esempio

La circonferenza di raggio 3 e avente il centro nel punto $C(2,1)$ è $$(x - 2)^2 + (y - 1)^2 = \underbrace{9}_{3^2}$$ e il suo grafico è

Grafico di una circonferenza dati centro e raggio

Equazione canonica della circonferenza

Come già mensionato sopra, l'equazione generica della circonferenza in forma canonica è: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{x^2+y^2+ax+by+c=0}\bigstar$$ dove a,b e c sono numeri reali costanti.

Osserviamo alcuni aspetti di tale equazione:

  • é di secondo grado;
  • manca il termine misto $xy$;
  • i coefficienti dei termini di secondo grado, $x^2$ e $y^2$ sono uguali tra loro.

In questo caso, le coordinate del centro e il raggio non sono direttamente visibili nell'equazione ma possono essere determinati mediante le seguenti formule: $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{C=\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)}\bigstar\bigstar$$ $$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\begin{eqnarray*} r&=&\sqrt{\left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2}\right)^2-c}=\\ &=&\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c}\end{eqnarray*}}\bigstar\bigstar\bigstar$$

Esempio

Trovare il centro e il raggio della circonferenza di equazione: $$x^2+y^2-6x-16=0$$

Applicando le formule $\bigstar$ e $\bigstar\bigstar$ otteniamo: $$\begin{eqnarray*} C &=& \left(-\frac{-6}{2},-\frac{0}{2}\right)=(3,0)\\ r &=& \sqrt{3^2+0^2-(-16)}=5\end{eqnarray*}$$

Circonferenza reale, degenere, non reale

Al variare della quantità che determina il valore del raggio, $a^2+b^2-4c$, otteniamo un'altra classificazione della circonferenza:

  • se $a^2+b^2-4c > 0$ ($\Rightarrow\ r > 0$) la $\bigstar$ è una circonferenza reale formata da infiniti punti
  • se $a^2+b^2-4c = 0$ ($\Rightarrow\ r=0$) la $\bigstar$ è una circonferenza degenere, ossia di raggio nullo. Pertanto, tale circonferenza ha solo un punto, il centro.
  • se $a^2+b^2-4c < 0$ ($\Rightarrow\ r < 0$) la $\bigstar$ rappresenta una circonferenza non reale, ossia non esiste nessun punto del piano cartesiano le cui coordinate la soddisfano.

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