Primo teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo il quadrato di un cateto è equivalente al rettangolo dell'ipotenusa e della proiezione del cateto sull'ipotenusa.

Consideriamo il triangolo rettangolo $ABC$, rettangolo in $\hat{C}$. Si vuole dimostrare che il quadrato costruito su un cateto, ad esempio $q(AC)$ è equivalente al rettangolo i cui lati sono l'ipotenusa e la proiezione del suddetto cateto sull'ipotenusa, cioè $r(AB, AD)$.

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ AC \bot BC\\ 2)\ CD \bot AB \end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} q(AC) \doteq r(AB, AD) \end{array}}$$

 
 
 
primo teorema di euclide
 
 

Costruiamo il quadrato $ACA'C'$ sul cateto $AC$ dalla parte di piano non contenente il triangolo. Prolunghiamo la proiezione $CD$, dalla parte di $D$ fino a prendere un segmento $DE \cong AB$ e si completi il rettangolo $ADEB'_1$, che è proprio il rettangolo protagonista del teorema, cioè quello che ha per lati l'ipotenusa e la proiezione del cateto sull'ipotenusa.

Adesso, si prolunghino i lati $AB'_1$ e $DE$ di tale rettangolo finchè questi non incontrano in $H$ e $F$ la retta passante per $A'C'$. Si è venuto a creare un quadrangolo $ACHF$ che risulta palesemente un parallelogramma, in quanto ha i lati opposti paralleli. 

Consideriamo ora, i due triangoli rettangoli $ACB$ e $AC'H$: essi sono congruenti perchè hanno i due cateti congruenti ($AC \cong AC'$ perchè lati dello stesso quadrato) e gli angoli acuti adiacenti congruenti ($C\hat{A}B \cong C'\hat{A}H$ perchè complementari dello stesso angolo $H\hat{A}C$). 

Dalla congruenza di questi due triangoli si deduce che $AB \cong AH$. Ma $AB \cong AB'_1$ per la costruzione fatta all'inizio, quindi si ha che $AH \cong AB'_1$. Se adesso osserviamo il rettangolo $ADEB'_1$ e il parallelogramma $ACHF$, essi risulteranno equivalenti perchè hanno le basi $AB'_1$ e $AH$ congruenti e la stessa altezza $AD$. 

D'altra parte il parallelogramma $ACHF$ risulta equivalente al quadrato $ACA'C'$ perchè hanno la stessa base $AC$ e la stessa altezza $AC'$. Per la proprietà transitiva, quindi, il rettangolo $ADEB'_1$ è equivalente al quadrato $ACA'C'$. 

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