Secondo Teorema di Euclide

In ogni triangolo rettangolo il quadrato dell'altezza relativa all'ipotenusa è equivalente al rettangolo delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.
Consideriamo il triangolo rettangolo $ABC$, rettangolo in $\hat{C}$. Si vuole dimostrare che il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa, cioè $CH$, è equivalente al rettangolo i cui lati sono le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa, cioè $AH$ e $HB$.
 
 

$$\bbox[#fd7b01,5px,border:2px solid #fd7b01]{\mbox{IPOTESI:}\quad\begin{array}{l} 1)\ AC \bot BC\\ 2)\ CH \bot AB \end{array}\quad\Rightarrow\quad\mbox{TESI:}\quad\begin{array}{l} q(CH) \doteq r(AH, HB) \end{array}}$$

 

secondo teorema di euclide

 

Costruiamo il quadrato sul lato $AC$ e il rettanngolo $ANMH$ così come fatto per nel primo teorema di Euclide. Si costruisca poi il quadrato $CHFK$ sull'altezza relativa all'ipotenusa e il quadrato $AHQP$ così come in figura. 

Consideriamo il triangolo rettangolo $AHC$ che risulta rettangolo in $\hat{H}$. Applicando ad esso il teorema di Pitagora si ha che il quadrato costruito sull'ipotenusa $AC$ è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti $AH$ e $CH$, cioè $$ACDE \doteq AQPH + CHKF$$

D'altra parte, per il primo teorema di Euclide si ha che il quadrato costruito sul cateto $AC$ è equivalente al rettangolo $AHNM$ il quale è dato dalla somma del quadratino piccolo $AQPH$ e del rettangolo $QPNM$, cioè $$ACDE \doteq ANMH \doteq AQPH + QPNM $$

Confrontando le ultime due relazioni (cioè uguagliando i membri di destra di $ACDE$) otteniamo $$AQPH + CHKF \doteq AQPH + QPNM$$Togliendo ad ambo i membri il quadrato $AQPH$, possiamo quindi scrivere che $$CHKF \doteq QNMP$$che è proprio quello che si voleva dimostrare visto che $CHKF$ è il quadrato costruito sull'altezza relativa all'ipotenusa e $QNMP$ è il rettangolo i cui lati sono $QP \cong AH$ e $PM \cong HB$ ovvero le proiezioni dei cateti sull'ipotenusa.

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